试题

（2007·遂宁）如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D（0，4），l₂上的点P与l₁上的点P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l₂上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意知点C'的坐标为（3，-4）．
设l₂的函数关系式为y=a（x-3）²-4．
又∵点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）²-4上，
∴（1-3）²a-4=0，解得a=1．
∴抛物线l₂的函数关系式为y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．

（2）∵P与P'始终关于x轴对称，
∴PP'与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m²-6m+5，
∵OD=4，∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
当m²-6m+5=2时，解得m=3±

6

．
当m²-6m+5=-2时，解得m=3±

2

．
∴当点P运动到(3-

6

，2)或(3+

6

，2)或(3-

2

，-2)或(3+

2

，-2)时，
P′P

∥ .

.

OD，以点D，O，P，P'为顶点的四边形是平行四边形．

（3）满足条件的点M不存在．
理由如下：若存在满足条件的点M在l₂上，
则∠AMB=90°，∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=

1

2

AB=

1

2

×4=2．
过点M作ME⊥AB于点E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=

1

2

BM=

1

2

×2=1，EM=

3

，OE=4．
∴点M的坐标为(4，-

3

)．
但是，当x=4时，y=42-6×4+5=16-24+5=-3≠-

3

．
∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．
解：（1）由题意知点C'的坐标为（3，-4）．
设l₂的函数关系式为y=a（x-3）²-4．
又∵点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）²-4上，
∴（1-3）²a-4=0，解得a=1．
∴抛物线l₂的函数关系式为y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．

（2）∵P与P'始终关于x轴对称，
∴PP'与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m²-6m+5，
∵OD=4，∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
当m²-6m+5=2时，解得m=3±

6

．
当m²-6m+5=-2时，解得m=3±

2

．
∴当点P运动到(3-

6

，2)或(3+

6

，2)或(3-

2

，-2)或(3+

2

，-2)时，
P′P

∥ .

.

OD，以点D，O，P，P'为顶点的四边形是平行四边形．

（3）满足条件的点M不存在．
理由如下：若存在满足条件的点M在l₂上，
则∠AMB=90°，∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=

1

2

AB=

1

2

×4=2．
过点M作ME⊥AB于点E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=

1

2

BM=

1

2

×2=1，EM=

3

，OE=4．
∴点M的坐标为(4，-

3

)．
但是，当x=4时，y=42-6×4+5=16-24+5=-3≠-

3

．
∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．