试题

（2007·岳阳）已知：直线y=x+6交x、y轴于A、C两点，经过A、O两点的抛物线y=ax²+bx（a＜0）的顶点在直线AC上．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）求出抛物线的函数关系式；
（3）以B点为圆心，以AB为半径作⊙B，将⊙B沿x轴翻折得到⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并求出BD的长；
（4）若E为⊙B劣弧OC上一动点，连接AE、OE，问在抛物线上是否存在一点M，使∠MOA：∠AEO=2：3？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，试说明理由．

解：（1）A（-6，0），C（0，6）

（2）∵抛物线y=ax²+bx（a＜0）经过A（-6，0），0（0，0）．
∴对称轴x=-

b

2a

=-3，b=6a…①
当x=-3时，代入y=x+6得y=-3+6=3，
∴B点坐标为（-3，3）．
∵点B在抛物线y=ax²+bx上，
∴3=9a-3b…②
结合①②解得a=-

1

3

，b=-2，
∴该抛物线的函数关系式为y=-

1

3

x²-2x．

（3）相切
理由：连接AD，
∵AO=OC
∴∠ACO=∠CAO=45°
∵⊙B与⊙D关于x轴对称
∴∠BAO=∠DAO=45°
∴∠BAD=90°
又∵AD是⊙D的半径，
∴AC与⊙D相切．
∵抛物线的函数关系式为y=-

1

3

x²-2x，
∴函数顶点坐标为（-3，3），
由于D、B关于x轴对称，
则BD=3×2=6．

（4）存在这样的点M．
设M点的坐标为（x，y）
∵∠AEO=∠ACO=45°
而∠MOA：∠AEO=2：3
∴∠MOA=30°
当点M在x轴上方时，

y

-x

=tan30°=

3

3

，
∴y=-

3

3

x．
∵点M在抛物线y=-

1

3

x²-2x上，
∴-

3

3

x=-

1

3

x²-2x，
解得x=-6+

3

，x=0（不合题意，舍去）
∴M（-6+

3

，-1+2

3

）．
当点M在x轴下方时，

-y

-x

=tan30°=

3

3

，
∴y=

3

3

x，
∵点M在抛物线y=-

1

3

x²-2x上．
∴

3

3

x=-

1

3

x²-2x，
解得x=-6-

3

，x=0（不合题意，舍去）．
∴M（-6-

3

，-1-2

3

），
∴M的坐标为（-6+

3

，-1+2

3

）或（-6-

3

，-1-2

3

）．
解：（1）A（-6，0），C（0，6）

（2）∵抛物线y=ax²+bx（a＜0）经过A（-6，0），0（0，0）．
∴对称轴x=-

b

2a

=-3，b=6a…①
当x=-3时，代入y=x+6得y=-3+6=3，
∴B点坐标为（-3，3）．
∵点B在抛物线y=ax²+bx上，
∴3=9a-3b…②
结合①②解得a=-

1

3

，b=-2，
∴该抛物线的函数关系式为y=-

1

3

x²-2x．

（3）相切
理由：连接AD，
∵AO=OC
∴∠ACO=∠CAO=45°
∵⊙B与⊙D关于x轴对称
∴∠BAO=∠DAO=45°
∴∠BAD=90°
又∵AD是⊙D的半径，
∴AC与⊙D相切．
∵抛物线的函数关系式为y=-

1

3

x²-2x，
∴函数顶点坐标为（-3，3），
由于D、B关于x轴对称，
则BD=3×2=6．

（4）存在这样的点M．
设M点的坐标为（x，y）
∵∠AEO=∠ACO=45°
而∠MOA：∠AEO=2：3
∴∠MOA=30°
当点M在x轴上方时，

y

-x

=tan30°=

3

3

，
∴y=-

3

3

x．
∵点M在抛物线y=-

1

3

x²-2x上，
∴-

3

3

x=-

1

3

x²-2x，
解得x=-6+

3

，x=0（不合题意，舍去）
∴M（-6+

3

，-1+2

3

）．
当点M在x轴下方时，

-y

-x

=tan30°=

3

3

，
∴y=

3

3

x，
∵点M在抛物线y=-

1

3

x²-2x上．
∴

3

3

x=-

1

3

x²-2x，
解得x=-6-

3

，x=0（不合题意，舍去）．
∴M（-6-

3

，-1-2

3

），
∴M的坐标为（-6+

3

，-1+2

3

）或（-6-

3

，-1-2

3

）．