试题

如图，抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过A（-2，0）、B（0，-2）两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）连接BC，求证：BC＞DC．

解：（1）∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过A（-2，0）、B（0，-2）两点，
∴

1-2b+c=0 c=-2

，
解得：

b=- 1 2 c=-2

．
∴此抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-

1

2

x-2；
                                        
（2）∵y=

1

4

x²-

1

2

x-2
=

1

4

（x²-2x）-2
=

1

4

[（x²-2x+1）-1]-2
=

1

4

（x-1）²-

9

4

，
∴此抛物线的对称轴l为：x=1，
顶点C的坐标为：（1，-

9

4

）；
                                                  
（3）证明：假设过A、B两点的直线解析式为：y=kx+a，

将A，B代入可得：

-2k+b=0 b=-2

解得：

k=-1 b=-2

，
∴直线解析式为：y=-x-2，
∴当x=1时，y=-3，
∴点D的纵坐标为-3，
∴CD=|-3|-|-

9

4

|=

3

4

．
作BE⊥l，于点E，则BE=1，CE=|-

9

4

|-|-2|=

1

4

，
由勾股定理得BC=

12+( 1 4 ) 2

=

17

4

，
∴BC＞DC．
解：（1）∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过A（-2，0）、B（0，-2）两点，
∴

1-2b+c=0 c=-2

，
解得：

b=- 1 2 c=-2

．
∴此抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-

1

2

x-2；
                                        
（2）∵y=

1

4

x²-

1

2

x-2
=

1

4

（x²-2x）-2
=

1

4

[（x²-2x+1）-1]-2
=

1

4

（x-1）²-

9

4

，
∴此抛物线的对称轴l为：x=1，
顶点C的坐标为：（1，-

9

4

）；
                                                  
（3）证明：假设过A、B两点的直线解析式为：y=kx+a，

将A，B代入可得：

-2k+b=0 b=-2

解得：

k=-1 b=-2

，
∴直线解析式为：y=-x-2，
∴当x=1时，y=-3，
∴点D的纵坐标为-3，
∴CD=|-3|-|-

9

4

|=

3

4

．
作BE⊥l，于点E，则BE=1，CE=|-

9

4

|-|-2|=

1

4

，
由勾股定理得BC=

12+( 1 4 ) 2

=

17

4

，
∴BC＞DC．