试题

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q运动时间为t（0≤t≤4）
（1）AB的长为cm．
（2）过点P做PM⊥OA于M，则P点的坐标为（用含t的代数式表示）．
（3）求△OPQ面积S（cm²）与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（4）探究△OPQ能否为直角三角形，若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）∵OA=3cm，OB=4cm，
∴AB=

9+16

=5cm．

（2）∵△APM∽△ABO，
∴

MP

AP

=

OB

AB

=

AM

AO

，
∴MP=

4t

5

，AM=

3t

5

，
∴P（

4t

5

，3-

3t

5

）．

（3）如图：
过点P作PN⊥OQ于点N，则PN=3-

3t

5

，
S=

1

2

OQ·PN
=

1

2

t（3-

3t

5

）
=-

3

10

t²+

3

2

t
∵a=-

3

10

＜0，
∴当t=

5

2

时，S有最大值，且S_最大值=

15

8

．

（4）△OPQ能成为直角三角形．
∵∠POQ＜90°，OQ=t＞ON，∠OQP＜90°，
∴只有∠OPQ可能是90°，
当∠OPQ=90°时，
△OPN∽△PQN，
∴

PN

ON

=

NQ

PN

，
∴PN²=ON·NQ
即：(3-

3t

5

)2=

4t

5

×

t

5

，
解得：t₁=3，t₂=15，
∵OB=4＜15，
∴t=3．