题目:
如图,抛物线y=(x-1)
2+m与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连BC交对称轴于G点,且BG=2CG.

(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有两动点M、N(点M在点N的下方),且MN=6,若四边形ACMN的周长最小,试求AN+CM的长.
(3)在第一象限的抛物线上是否存在点P,使tan∠APC=
?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案

解:(1)如图,设抛物线的对称轴交x轴于点D,则DG∥OC,
∵BG=2CG,
∴BD:OB=BG:CG=2,
∴BD=2OD,
∴B点的横坐标是3.
将B(3,0)代入y=(x-1)
2+m,
得4+m=0,解得m=-4.
∴抛物线的解析式为y=(x-1)
2-4,即y=x
2-2x-3;
≈
(2)如图,将点C(0,-3)向上平移6个单位得C′(0,3),连BC′交对称轴于点N,再将点N向下平移6个单位得点M,则AN+CM最小.

∵CC′∥MN,CC′=MN=6,
∴CC′NM是平行四边形,
∴C′N=CM.
∵A、B两点关于MN对称,
∴BN=AN,
∴AN+CM=BN+C′N=BC′.
∵B(3,0),C′(0,3),
∴BC′=
=3
,
即四边形ACMN的周长最小时,AN+CM的长为3
;

(3)如图,在x轴正半轴上取一点D,使OD=9.
∵tan∠ADC=
=
=
,tan∠APC=
,
∴tan∠ADC=tan∠APC,
∴∠ADC=∠APC,
∴A、C、D、P四点共圆,
易证∠ADC=∠ACO,
∴∠ADC+∠DAC=∠ACO+∠DAC=90°,
∴∠ACD=90°,
∴AD是直径,∠APD=90°.
设在第一象限的抛物线上存在点P(x,y),使tan∠APC=
,则x>0,y>0.
∵AP
2+PD
2=AD
2,A(-1,0),D(9,0),
∴(x+1)
2+y
2+(x-9)
2+y
2=10
2,
化简整理,得y
2=(x+1)(9-x),
∵y=x
2-2x-3=(x+1)(x-3),
∴(x+1)
2(x-3)
2=(x+1)(9-x),
∵x>0,∴x+1≠0,
∴(x+1)(x-3)
2=(9-x),
化简整理,得x
3-x
2+4x=0,
∵x(x-1)(x-4)=0,
∵x>0,∴x=1或4,
当x=1时,y=-4<0,不合题意舍去;
当x=4时,y=5>0,符合题意.
故所求P点坐标为(4,5).

解:(1)如图,设抛物线的对称轴交x轴于点D,则DG∥OC,
∵BG=2CG,
∴BD:OB=BG:CG=2,
∴BD=2OD,
∴B点的横坐标是3.
将B(3,0)代入y=(x-1)
2+m,
得4+m=0,解得m=-4.
∴抛物线的解析式为y=(x-1)
2-4,即y=x
2-2x-3;
≈
(2)如图,将点C(0,-3)向上平移6个单位得C′(0,3),连BC′交对称轴于点N,再将点N向下平移6个单位得点M,则AN+CM最小.

∵CC′∥MN,CC′=MN=6,
∴CC′NM是平行四边形,
∴C′N=CM.
∵A、B两点关于MN对称,
∴BN=AN,
∴AN+CM=BN+C′N=BC′.
∵B(3,0),C′(0,3),
∴BC′=
=3
,
即四边形ACMN的周长最小时,AN+CM的长为3
;

(3)如图,在x轴正半轴上取一点D,使OD=9.
∵tan∠ADC=
=
=
,tan∠APC=
,
∴tan∠ADC=tan∠APC,
∴∠ADC=∠APC,
∴A、C、D、P四点共圆,
易证∠ADC=∠ACO,
∴∠ADC+∠DAC=∠ACO+∠DAC=90°,
∴∠ACD=90°,
∴AD是直径,∠APD=90°.
设在第一象限的抛物线上存在点P(x,y),使tan∠APC=
,则x>0,y>0.
∵AP
2+PD
2=AD
2,A(-1,0),D(9,0),
∴(x+1)
2+y
2+(x-9)
2+y
2=10
2,
化简整理,得y
2=(x+1)(9-x),
∵y=x
2-2x-3=(x+1)(x-3),
∴(x+1)
2(x-3)
2=(x+1)(9-x),
∵x>0,∴x+1≠0,
∴(x+1)(x-3)
2=(9-x),
化简整理,得x
3-x
2+4x=0,
∵x(x-1)(x-4)=0,
∵x>0,∴x=1或4,
当x=1时,y=-4<0,不合题意舍去;
当x=4时,y=5>0,符合题意.
故所求P点坐标为(4,5).