试题

如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；
（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存，请直接作出；不存在，请说明理由．

解：（1）y=ax²-5ax+4，
对称轴：x=-

-5a

2a

=

5

2

；

（2）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C点坐标（0，4），
BC∥x轴，所以B点纵坐标也为4，
又∵BC两点关于对称轴x=

5

2

对称，
即：

(xB+0)

2

=

5

2

，
x_B=5，
∴B点坐标（5，4）．
A点在x轴上，设A点坐标（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A点坐标（-3，0），
将A点坐标（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-

1

6

，
故函数关系式为：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（3）存在符合条件的点P共有3个．如图所示：

解：（1）y=ax²-5ax+4，
对称轴：x=-

-5a

2a

=

5

2

；

（2）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C点坐标（0，4），
BC∥x轴，所以B点纵坐标也为4，
又∵BC两点关于对称轴x=

5

2

对称，
即：

(xB+0)

2

=

5

2

，
x_B=5，
∴B点坐标（5，4）．
A点在x轴上，设A点坐标（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A点坐标（-3，0），
将A点坐标（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-

1

6

，
故函数关系式为：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（3）存在符合条件的点P共有3个．如图所示：