试题

如图，一抛物线的顶点A为（2，-1），交x轴于B、C（B左C右）两点，交y轴于点D，且B（1，0），坐标原点为O，
（1）求抛物线解析式．
（2）连接CD、BD，在x轴上确定点E，使以A、C、E为顶点的三角形与△CBD相似，并求出点E的坐标．
（3）若点M（m，1）是抛物线上对称轴右侧的一点，点Q也在抛物线上，点P在x轴上，是否存在以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线的顶点A为（2，-1），可设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1，
把B（1，0）代入得，a-1=0，解得a=1，
∴y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令x=0，得y=3，∴D点坐标为（0，3）；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴C点坐标为（3，0）；
过A作AH⊥x轴，如图，
易得△ODC和△ACH都为等腰直角三角形，BC=2，DC=3

2

，AC=

2

，
∴∠DCB=∠ACH=45°，
当以A、C、E为顶点的三角形与△CBD相似，则∠DCB=∠ACE=45°，
若CE：CB=CA：CD，即CE：2=

2

：3

2

，解得CE=

2

3

，
∴OE=3-

2

3

=

7

3

，则E点坐标为（

7

3

，0）；
若CE：CD=CA：CB，即CE：3

2

=

2

：2，解得CE=3，
∴OE=3-3=0，则E点坐标为（0，0）；

（3）存在．P点坐标为（-2

2

，0）；（2

2

，0）；（4+

2

，0）．
解：（1）∵抛物线的顶点A为（2，-1），可设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1，
把B（1，0）代入得，a-1=0，解得a=1，
∴y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令x=0，得y=3，∴D点坐标为（0，3）；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴C点坐标为（3，0）；
过A作AH⊥x轴，如图，
易得△ODC和△ACH都为等腰直角三角形，BC=2，DC=3

2

，AC=

2

，
∴∠DCB=∠ACH=45°，
当以A、C、E为顶点的三角形与△CBD相似，则∠DCB=∠ACE=45°，
若CE：CB=CA：CD，即CE：2=

2

：3

2

，解得CE=

2

3

，
∴OE=3-

2

3

=

7

3

，则E点坐标为（

7

3

，0）；
若CE：CD=CA：CB，即CE：3

2

=

2

：2，解得CE=3，
∴OE=3-3=0，则E点坐标为（0，0）；

（3）存在．P点坐标为（-2

2

，0）；（2

2

，0）；（4+

2

，0）．