试题

已知，如图A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，点E为x轴上一个动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为D，交y轴于N点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设点E（t，0），△BEN的面积为S，请求出S与t的函数关系式；
（3）已知点F是抛物线y=ax²+bx+c上的一动点，点G是坐标平面上的一动点，在点E的移动过程中，是否存在以点B、E、F、G四点为顶点的四边形是正方形，若存在，请求出E点的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，则

0=a-b+c 0=9a+3b+c c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∵BD⊥CD，
∴∠BDE=90°，
∵∠BED=∠CEO，
∴∠OBN=∠OCE，
∴△COE≌△BON，
∴ON=OE，
∴当0≤t≤3时，S=-

1

2

t²+

3

2

t，
当t＞3时，S=

1

2

t²+

3

2

t，
当t＜0时，S=

1

2

t²-

3

2

t；

（3）∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
当F在x轴下方时，如图1，设F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴（3-a）=-（a²-2a-3），
解得：a₁=0，a₂=3（不符合题意，舍去），
∴E（0，0），
当F在x轴上方时，如图2，设F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴3-a=a²-2a-3，
∴a₁=-2，a₂=3（不符合题意，舍去），
∴E（-2，0），
当EB为对角线、F点在x轴下方，可得正方形BFEG，如图3，作FH⊥x轴于H，设F（b，b²-2b-3）
则根据正方形的性质可以得出：
3-b=-（b²-2b-3），
∴b=3
∴F（3，0）
∵EB=2FH=6
∴E（-3，0）
当EB为对角线、F点在x轴上方，可得正方形BFEG，如图4，作FH⊥x轴于H，设F（b，b²-2b-3），则H（b，0）
∴FH=EH=BH=

1

2

EB，
∴3-b=b²-2b-3，
∴b₁=-2，b₂=3（不符合题意，舍去），
∴BH=5，
∴BE=10，
∴EO=7，
∴E（-7，0）
综上所述，E（0，0）、（-3，0）、（-2，0）、（-7，0）

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，则

0=a-b+c 0=9a+3b+c c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∵BD⊥CD，
∴∠BDE=90°，
∵∠BED=∠CEO，
∴∠OBN=∠OCE，
∴△COE≌△BON，
∴ON=OE，
∴当0≤t≤3时，S=-

1

2

t²+

3

2

t，
当t＞3时，S=

1

2

t²+

3

2

t，
当t＜0时，S=

1

2

t²-

3

2

t；

（3）∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
当F在x轴下方时，如图1，设F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴（3-a）=-（a²-2a-3），
解得：a₁=0，a₂=3（不符合题意，舍去），
∴E（0，0），
当F在x轴上方时，如图2，设F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴3-a=a²-2a-3，
∴a₁=-2，a₂=3（不符合题意，舍去），
∴E（-2，0），
当EB为对角线、F点在x轴下方，可得正方形BFEG，如图3，作FH⊥x轴于H，设F（b，b²-2b-3）
则根据正方形的性质可以得出：
3-b=-（b²-2b-3），
∴b=3
∴F（3，0）
∵EB=2FH=6
∴E（-3，0）
当EB为对角线、F点在x轴上方，可得正方形BFEG，如图4，作FH⊥x轴于H，设F（b，b²-2b-3），则H（b，0）
∴FH=EH=BH=

1

2

EB，
∴3-b=b²-2b-3，
∴b₁=-2，b₂=3（不符合题意，舍去），
∴BH=5，
∴BE=10，
∴EO=7，
∴E（-7，0）
综上所述，E（0，0）、（-3，0）、（-2，0）、（-7，0）