试题

（附加题）已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），
又∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6，0）；

（2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，
∴c=8，将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式，
得：

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

，
解得

a=- 2 3 b=- 8 3

，
∴所求抛物线的表达式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（3）∵点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），点A的坐标为（-6，0）；
∴AB=2+6=8，CO=8，
∴△ABC的面积为：S_△ABC=

1

2

×AB×CO=

1

2

×8×8=32；

（4）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即

EF

10

=

8-m

8

∴EF=

40-5m

4

（6分）
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

·

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m），
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m，
自变量m的取值范围是0＜m＜8；

（5）存在．
理由：∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8且-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8，
∵m=4，
∴点E的坐标为（-2，0），
∴△BCE为等腰三角形．
解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），
又∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6，0）；

（2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，
∴c=8，将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式，
得：

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

，
解得

a=- 2 3 b=- 8 3

，
∴所求抛物线的表达式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（3）∵点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），点A的坐标为（-6，0）；
∴AB=2+6=8，CO=8，
∴△ABC的面积为：S_△ABC=

1

2

×AB×CO=

1

2

×8×8=32；

（4）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即

EF

10

=

8-m

8

∴EF=

40-5m

4

（6分）
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

·

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m），
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m，
自变量m的取值范围是0＜m＜8；

（5）存在．
理由：∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8且-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8，
∵m=4，
∴点E的坐标为（-2，0），
∴△BCE为等腰三角形．