试题

如图l，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点D，顶点的坐标为（2，4）．直角三角形ABC的顶点A与点O重合，AC，AB分别在x轴，y轴上，且AC=3，AB=4．
（1）直线BC的解析式为；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）将直角三角形ABC以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤2），AB边与该抛物线的交点为Q（如图2所示）．
①设△CPQ的面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
②直接写出直线BC与抛物线有唯一的公共点时t的值．

解：（1）∵直角三角形ABC的顶点A与点O重合，AC，AB分别在x轴，y轴上，且AC=3，AB=4，
∴C，B坐标分别为：C（-3，0），B（0，4），
设BC直线解析式为：y=ax+b则：

b=4 -3a+b=0

，
解得：

a= 4 3 b=4

，
∴y=

4

3

x+4；
故答案为：y=

4

3

x+4；

（2）∵抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴设抛物线解析式为：y=a（x-2）²+4，
∵抛物线过原点，
∴0=4a+4，
解得：a=-1，
∴该抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+4，即y=-x²+4x；

（3）①由题意得出点P的坐标为：（t，t），点Q的坐标为：（t，-t²+4t），
∴PQ=-t²+4t-t=-t²+3t，
∴△CPQ的面积为
S=

1

2

PQ·AC
=

1

2

×3×（-t²+3t）
=-

3

2

（t²-3t）
=-

3

2

（t-

3

2

）²+

27

8

∴S存在最大值，最大值是

27

8

．

②当直线BC与抛物线有唯一的公共点时，
设此时直线解析式为：y=

4

3

x+d，
∴

4

3

x+d=-x²+4x整理后方程为：x²-

8

3

x+d=0此时方程有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=

64

9

-4×1×d=0，
解得：d=

16

9

，
∴此时BC所在直线解析式为：y=

4

3

x+

16

9

，
∴y=0时，x=-

4

3

，
∴C点从（-3，0）到（-

4

3

，0）移动了

5

3

个单位长度，
∴直线BC与抛物线有唯一的公共点时t的值为：

5

3

．