试题

在平面直角坐标系中，已知，A（-4，0），B（1，0）且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？
（4）若动点M在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点N，使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令二次函数y=ax²+bx+c，则

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

       
∴

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴过A，B，C线的解析式为y=-

1

2

x2 -

3

2

x+2；

（2）以AB径的圆圆心坐标为O′（-

3

2

，0），
∴O′C=

5

2

  O′O=

3

2

QCD为圆O′切线  
∴OC′⊥CD
∴∠O′CD+∠DCO=90°
∠CO′O+∠OCO=90°  
∴∠CO′O=∠DCO
∴△O′CO∽△CDO，
∴

O′O

OC

=

O′C

OD

，
∴

3 2

2

=

2

OD

  
∴OD=

8

3

∴D坐标为（

8

3

，0）；

（3）存在．
抛物线对称轴为x=-

3

2

，
设满足条件的圆的半径为R，点E在对称轴左侧，
则E的坐标为（-

3

2

-R，R）或（-

3

2

-R，-R）
而E点在抛物线y=-

1

2

x2-

3

2

x+2上
∴R=-

1

2

（-

3

2

-R）²-

3

2

（-

3

2

-R）+2，
R₁=

5

6

3

，R₂=-

5

6

3

（不符合题意，应舍去）
或-R=-

1

2

（-

3

2

-R）²-

3

2

（-

3

2

-R）+2
∴R₁=1+

29

2

，R₂=1-

29

2

（不符合题意，应舍去）
∴R=1+

29

2

，
故在以EF为直径的圆，恰好与AB为直径的圆相外切，该圆的半径为R=

5

6

3

或1+

29

2

；

（4）当ABNM为平行四边形时，则AB∥MN，并且AB=MN．
∵AB=5，
∴MN=5，由于对称为x=-

3

2

，
∴点N的横坐标为

7

2

或-

13

2

．
将x=

7

2

代入y=-

1

2

x2-

3

2

x+2，
得y=-

75

8

，
∴N（

7

2

，-

75

8

）．
将x=-

13

2

代入y=-

1

2

x2-

3

2

x+2，
得y=-

75

8

，
∴N（-

13

2

，-

75

8

）．
所以，在抛物线上存在点N，
使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形，
此时点N的坐标为（

7

2

，-

75

8

）或（-

13

2

，-

75

8

）．
解：（1）令二次函数y=ax²+bx+c，则

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

       
∴

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴过A，B，C线的解析式为y=-

1

2

x2 -

3

2

x+2；

（2）以AB径的圆圆心坐标为O′（-

3

2

，0），
∴O′C=

5

2

  O′O=

3

2

QCD为圆O′切线  
∴OC′⊥CD
∴∠O′CD+∠DCO=90°
∠CO′O+∠OCO=90°  
∴∠CO′O=∠DCO
∴△O′CO∽△CDO，
∴

O′O

OC

=

O′C

OD

，
∴

3 2

2

=

2

OD

  
∴OD=

8

3

∴D坐标为（

8

3

，0）；

（3）存在．
抛物线对称轴为x=-

3

2

，
设满足条件的圆的半径为R，点E在对称轴左侧，
则E的坐标为（-

3

2

-R，R）或（-

3

2

-R，-R）
而E点在抛物线y=-

1

2

x2-

3

2

x+2上
∴R=-

1

2

（-

3

2

-R）²-

3

2

（-

3

2

-R）+2，
R₁=

5

6

3

，R₂=-

5

6

3

（不符合题意，应舍去）
或-R=-

1

2

（-

3

2

-R）²-

3

2

（-

3

2

-R）+2
∴R₁=1+

29

2

，R₂=1-

29

2

（不符合题意，应舍去）
∴R=1+

29

2

，
故在以EF为直径的圆，恰好与AB为直径的圆相外切，该圆的半径为R=

5

6

3

或1+

29

2

；

（4）当ABNM为平行四边形时，则AB∥MN，并且AB=MN．
∵AB=5，
∴MN=5，由于对称为x=-

3

2

，
∴点N的横坐标为

7

2

或-

13

2

．
将x=

7

2

代入y=-

1

2

x2-

3

2

x+2，
得y=-

75

8

，
∴N（

7

2

，-

75

8

）．
将x=-

13

2

代入y=-

1

2

x2-

3

2

x+2，
得y=-

75

8

，
∴N（-

13

2

，-

75

8

）．
所以，在抛物线上存在点N，
使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形，
此时点N的坐标为（

7

2

，-

75

8

）或（-

13

2

，-

75

8

）．