试题

题目：
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P、Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿ABCD的方向运动，点Q以每秒1个单位的速度沿ADC的方向运动，当P、Q两点相遇青果学院时，它们同时停止运动，设P、Q两点运动的时间为x（秒），△APQ的面积为S（平方单位）．
（1）点P、Q从出发到相遇所用的时间是
4
4
秒；
（2）求S与x之间的函数关系式；
（3）当S=
7
2
时，求x的值．
答案
4

青果学院青果学院解：（1）（4×2+2×2）÷（2+1）=4．
故答案为：4．

（2）如图1，当0≤x≤2时，S=
1
2
AQ×AP=
1
2
·x·2x=x2．
如图2，当2＜x≤3时，
由长方形ABCD的面积-S△ADQ-S△QCP-S△ABP=S△QAP
=4×2-
1
2
×2×（x-2）-
1
2
×4×（2x-4）-
1
2
×（6-x）×（6-2x）
=-x2+4x．
如图3，当3＜x≤4时，S=
1
2
×AD×QP=
1
2
×2×（12-3x）=12-3x．
青果学院
（3）当0≤x≤2时，x2=
7
2
，解得：x=±
14
2
，
故x=
14
2
．
当2＜x≤3时，-x2+4x=
7
2
，解得：x=2±
2
2
，故x=2+
2
2
．
当3＜x≤4时，12-3x=
7
2
，解得：x=
17
6
（小于3，舍去），故此时不存在．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）当两点相遇时，所行驶的路程为4×2+2×2=12，再利用路程÷速度=时间，进行计算即可；
（2）当0≤x≤2时，P点在AB上，Q点在AD上，根据三角形面积进行计算即可；
当2＜x≤3时，P点在CB上，PB=2x-4，CP=6-x，Q点在CD上，DQ=x-2，QC=6-2x，用长方形ABCD的面积-三角形ADQ的面积-三角形QCP的面积-三角形ABP的面积可得三角形QAP的面积；当3＜x≤4时，则QP=4-DQ-CP=12-3x，再利用三角形面积进行计算即可；
（3）把S=
7
2
代入（2）中的解析式即可求出x的值．
此题主要考查了二次函数，三角形的面积计算，以及一元二次方程的计算，关键是根据x的取值范围表示出S与x之间的函数关系式．
压轴题．
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