如图，在平面直角坐标系中，直线y=-sqrt{3}x-sqrt{3}与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=a{x^2}-frac{{2sqrt{3}}}{3}x+c（a≠0）经-青果题库-青果学院

题目：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

3

x-

3

与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-

2

3

x+c(a≠0)经过A、B、C三点．
（1）试求A、C的坐标，并求过A、B、C两点的抛物线的解析式及其顶点F的坐标；
（2）试说明△ABC为直角三角形．并指出，在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵直线y=-

3

x-

3

x轴交于点A，与y轴交于点C 青果学院

∴点A（-1，0），C（0，-

3

）
∵点A，C都在抛物线上，

0=a+

2

3

+c

-

3

=c

，
∴抛物线的解析式为y=

3

x²-

2

3

x-

3

，
∵y=

3

x²-

2

3

x-

3

=

3

（x-1）²-

4

3

，
∴顶点F（1，-

4

3

）；
（2）证明：
由（1）可知点A（-1，0），C（0，-

3

），
∴AO=1，OC=-

3

，
∴AC=2，
设y=0，则y=

3

x²-

2

3

x-

3

=0，解得：x=-1或3，
∴B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴BC=

BO2+OC2

=

32+(

3)

2

=2

3

，
∵AC²+BC²=16，AB²=16，
∴AC²+BC²AB²=16，
∴△ABC为直角三角形；
在抛物线上存在异于点C的点P，使△ABP为直角三角形，
理由如下：根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意，
∴P点的坐标是（2，-

3

）；
（3）延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=

3

x²-

2

3

x-

3

，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=

3

，∴∠OBC=30°，BC=2

3

，

在Rt△B′BH中，B′H=

1

2

BB′=2

3

，
BH=

3

B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2

3

），
设直线B′F的解析式为y=kx+b，

-2

3

=-3k+b

-

4

3

=k+b

，
解得：

k=

3

6

b=-

3

2

，
∴y=

3

6

x-

3

2

，
联立

y=-

3

x-

3

y=

3

6

x-

3

2

，
解得：

x=

3

7

y=-

10

3

7

，
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（

3

7

，-

10

3

7

）．
解：（1）∵直线y=-

3

x-

3

x轴交于点A，与y轴交于点C 青果学院

∴点A（-1，0），C（0，-

3

）
∵点A，C都在抛物线上，

0=a+

2

3

+c

-

3

=c

，
∴抛物线的解析式为y=

3

x²-

2

3

x-

3

，
∵y=

3

x²-

2

3

x-

3

=

3

（x-1）²-

4

3

，
∴顶点F（1，-

4

3

）；
（2）证明：
由（1）可知点A（-1，0），C（0，-

3

），
∴AO=1，OC=-

3

，
∴AC=2，
设y=0，则y=

3

x²-

2

3

x-

3

=0，解得：x=-1或3，
∴B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴BC=

BO2+OC2

=

32+(

3)

2

=2

3

，
∵AC²+BC²=16，AB²=16，
∴AC²+BC²AB²=16，
∴△ABC为直角三角形；
在抛物线上存在异于点C的点P，使△ABP为直角三角形，
理由如下：根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意，
∴P点的坐标是（2，-

3

）；
（3）延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=

3

x²-

2

3

x-

3

，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=

3

，∴∠OBC=30°，BC=2

3

，

在Rt△B′BH中，B′H=

1

2

BB′=2

3

，
BH=

3

B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2

3

），
设直线B′F的解析式为y=kx+b，

-2

3

=-3k+b

-

4

3

=k+b

，
解得：

k=

3

6

b=-

3

2

，
∴y=

3

6

x-

3

2

，
联立

y=-

3

x-

3

y=

3

6

x-

3

2

，
解得：

x=

3

7

y=-

10

3

7

，
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（

3

7

，-

10

3

7

）．

考点梳理

二次函数综合题．

试题