试题

如图，抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB=45°？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N，问是否存在M、N使四边形ACMN为等腰梯形？若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；
∴将A（1，0），C（0，3），代入解析式即可求出：
0=a-4a+b，b=3，
∴a=1，
y=x²-4x+3；

（2）设P（m，n），
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
∴cos∠OCA=cos∠PCB，
∵OA=1，OC=3，
∴cos∠OCA=

3 10

10

，
∴PC=

m2+(n-3)2

，PB=

(m-3)2+n2

，
BC=3

2

，
cos∠PCB=

BC2+PC2-BP2

2PC·BC

=

3 10

10

，
解得m=

7

2

或m=2，即n=

5

4

或n=-1，
P1(

7

2

，

5

4

)、P₂（2，-1）；

（3）作MN∥AC，CE⊥MN，AF⊥MN，QN⊥BO，
∴四边形CAFE是矩形，
∴∠CME=∠OCA，
∵∠OCA+∠CAO=90°，
∠MCE+∠OCA=90°，
∴∠MCE=∠CAO，
同理可得：要使四边形ACMN为等腰梯形，
∴∠CME=∠ANF，
∵AC∥MN，
∴直线MN的解析式可以设为：y=-3x+3+k，
联立y=x²-4x+3；
得出两图象在第四象限交点的横坐标为：

1+ 1+4k

2

，
分别代入两函数解析式即可得出：纵坐标为：

3

2

+k-

3

2

1+4k

，
∴AQ=

1+ 1+4k

2

-1=

1+4k -1

2

，
QN=

3

2

+k-

3

2

1+4k

，
∵MC=AN，
∴MC²=AQ²+QN²，
∴k²=（

1+4k -1

2

）²+（

3

2

+k-

3

2

1+4k

）²，
解得：k=

10

9

，
∴OM=

10

9

+3=

37

9

，

1+ 1+4k

2

=

5

3

，

3

2

+k-

3

2

1+4k

=-

8

9

，
故此时：M(0，

37

9

)；N(

5

3

，-

8

9

)．
解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；
∴将A（1，0），C（0，3），代入解析式即可求出：
0=a-4a+b，b=3，
∴a=1，
y=x²-4x+3；

（2）设P（m，n），
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
∴cos∠OCA=cos∠PCB，
∵OA=1，OC=3，
∴cos∠OCA=

3 10

10

，
∴PC=

m2+(n-3)2

，PB=

(m-3)2+n2

，
BC=3

2

，
cos∠PCB=

BC2+PC2-BP2

2PC·BC

=

3 10

10

，
解得m=

7

2

或m=2，即n=

5

4

或n=-1，
P1(

7

2

，

5

4

)、P₂（2，-1）；

（3）作MN∥AC，CE⊥MN，AF⊥MN，QN⊥BO，
∴四边形CAFE是矩形，
∴∠CME=∠OCA，
∵∠OCA+∠CAO=90°，
∠MCE+∠OCA=90°，
∴∠MCE=∠CAO，
同理可得：要使四边形ACMN为等腰梯形，
∴∠CME=∠ANF，
∵AC∥MN，
∴直线MN的解析式可以设为：y=-3x+3+k，
联立y=x²-4x+3；
得出两图象在第四象限交点的横坐标为：

1+ 1+4k

2

，
分别代入两函数解析式即可得出：纵坐标为：

3

2

+k-

3

2

1+4k

，
∴AQ=

1+ 1+4k

2

-1=

1+4k -1

2

，
QN=

3

2

+k-

3

2

1+4k

，
∵MC=AN，
∴MC²=AQ²+QN²，
∴k²=（

1+4k -1

2

）²+（

3

2

+k-

3

2

1+4k

）²，
解得：k=

10

9

，
∴OM=

10

9

+3=

37

9

，

1+ 1+4k

2

=

5

3

，

3

2

+k-

3

2

1+4k

=-

8

9

，
故此时：M(0，

37

9

)；N(

5

3

，-

8

9

)．