试题

（2007·张家界）抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积的比；
（3）在对称轴是否存在一个点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵A，B两点关于x=1对称，
∴B点坐标为（3，0），
根据题意得：

0=9a+3b+c 0=a-b+c -3=c

，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）△AOC和△BOC的面积分别为S_△AOC=

1

2

|OA|·|OC|，S_△BOC=

1

2

|OB|·|OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=|OA|：|OB|=1：3．

（3）存在一个点P．C点关于x=1对称点坐标C'为（2，-3），
令直线AC'的解析式为y=kx+b
∴

-3=2k+b 0=-k+b

，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式为y=-x-1．
为x=1时，y=-2，
∴P点坐标为（1，-2）．
解：（1）∵A，B两点关于x=1对称，
∴B点坐标为（3，0），
根据题意得：

0=9a+3b+c 0=a-b+c -3=c

，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）△AOC和△BOC的面积分别为S_△AOC=

1

2

|OA|·|OC|，S_△BOC=

1

2

|OB|·|OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=|OA|：|OB|=1：3．

（3）存在一个点P．C点关于x=1对称点坐标C'为（2，-3），
令直线AC'的解析式为y=kx+b
∴

-3=2k+b 0=-k+b

，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式为y=-x-1．
为x=1时，y=-2，
∴P点坐标为（1，-2）．