试题

（2007·中山）如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上．
（1）若BE=a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．

解：（1）连接FH，则FH∥BE且FH=BE，
在Rt△DFH中，DF=3a-a=2a，FH=a，∠DFH=90°，
所以，DH=

DF2+FH2

=

5

a；

（2）设BE=x，△DHE的面积为y，
依题意y=S_△CDE+S_梯形CDHG-S_△EGH
=

1

2

×3a×（3a-x）+

1

2

×（3a+x）×x-

1

2

×3a×x
=

1

2

x²-

3

2

ax+

9

2

a²
y=

1

2

x²-

3

2

ax+

9

2

a²=

1

2

（x-

3

2

a）²+

27

8

a²
当x=

3

2

a，即BE=

1

2

BC，E是BC的中点时，y取最小值，△DHE的面积y的最小值为

27

8

a²．
解：（1）连接FH，则FH∥BE且FH=BE，
在Rt△DFH中，DF=3a-a=2a，FH=a，∠DFH=90°，
所以，DH=

DF2+FH2

=

5

a；

（2）设BE=x，△DHE的面积为y，
依题意y=S_△CDE+S_梯形CDHG-S_△EGH
=

1

2

×3a×（3a-x）+

1

2

×（3a+x）×x-

1

2

×3a×x
=

1

2

x²-

3

2

ax+

9

2

a²
y=

1

2

x²-

3

2

ax+

9

2

a²=

1

2

（x-

3

2

a）²+

27

8

a²
当x=

3

2

a，即BE=

1

2

BC，E是BC的中点时，y取最小值，△DHE的面积y的最小值为

27

8

a²．