试题

（2008·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且|AB|=3

5

，sin∠OAB=

5

5

．
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k，0）、点R（5k，0）（k＞1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S_△QMN，△QNR的面积S_△QNR，求S_△QMN：S_△QNR的值．

解：（1）如图，过点B作BD⊥OA于点D．在Rt△ABD中，
∵|AB|=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
∴|BD|=|AB|·sin∠OAB=3

5

×

5

5

=3．
又由勾股定理，得|AD|=

|AB|2-|BD|2

=

(3 5 )2-32

=6
∴|OD|=|OA|-|AD|=10-6=4．
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为（4，3）． …3分
设经过O（0，0）、C（4，-3）、A（10，0）三点的抛物线的函数表达式为y=ax²+bx（a≠0）．
由

16a+4b=-3 100a+10b=0

·

a= 1 8 b=- 5 4

∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为y=

1

8

x2-

5

4

x．…2分

（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形
①∵点C（4，-3）不是抛物线y=

1

8

x2-

5

4

x的顶点，
∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P₁．则直线CP₁的函数表达式为y=-3．
对于y=

1

8

x2-

5

4

x，
令y=-3则得x=4或x=6．
∴

x1=4 y1=-3

x2=6 y2=-3

而点C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四边形P1AOC中，CP₁∥OA，显然|CP₁|≠|OA|．
∴点P₁（6，-3）是符合要求的点． …1分
②若AP₂∥CO．
设直线CO的函数表达式为y=k₁x．
将点C（4，-3）代入，
得4k₁=-3
∴k1=-

3

4

∴直线CO的函数表达式为y=-

3

4

x．
于是可设直线AP₂的函数表达式为y=-

3

4

x+b1．
将点A（10，0）代入，得-

3

4

x+

15

2

．
∴直线AP₂的函数表达式为y=-

3

4

x+

15

2

．
由

y=- 3 4 x+ 15 2 y= 1 8 x2- 5 4 x

·x2-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
∴

x1=10 y 1=0

x2=-6 y2=12

而点A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
过点P₂作P₂E⊥x轴于点E，则|P₂E|=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，得|AP2|=

|P2E|2+|AE|2

=

122+162

=20．
而|CO|=|OB|=5．
∴在四边形P₂OCA中，AP₂∥CO，但|AP₂|≠|CO|．
∴点P₂（-6，12）是符合要求的点． …1分
③若OP₃∥CA，设直线CA的函数表达式为y=k₂x+b₂将点A（10，0）、C（4，-3）代入，
得

10k2+b2=0 4k2+b2=-3

∴直线CA的函数表达式为y=

1

2

x-5．
∴直线OP₃的函数表达式为y=

1

2

x，由

y= 1 2 x y= 1 8 x2- 5 4 x

·x2-14x=0，
即x（x-14）=0．
∴

x1=0 y1=0

x2=14 y2=7

而点O（0，0），
∴P₃（14，7）．过点P₃作P₃E⊥x轴于点E，则|P₃E|=7．
在Rt△OP₃E中，由勾股定理，得|OP3|=

|P3F|2+|OF|2

=

72+142

=7

5

．而|CA|=|AB|=3

5

．
∴在四边形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|CA|．
∴点P₃（14，7）是符合要求的点． …1分
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P₁（6，-3）、P₂（-6，12）、P₃（14，7），
使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形． …1分

（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N．
可设抛物线的函数表达式为y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a(x-

3

2

k)2-

49

4

ak2．
如图，过点M作MG⊥x轴于点G．
∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G（(

3

2

k，0)、N（0，-10ak²）、M(

3

2

k，-

49

4

ak2)，
∴|QO|=2k，|QR|=7k，|OG|=

3

2

k，|QG|=

7

2

k，|ON|=10ak2，|MG|=

49

4

ak2．
∴S△QNR=

1

2

·|QR|·|ON|
=

1

2

×7k×10ak²=35ak³．
S_△QMN=

1

2

·|QO|·|ON|+

1

2

（|ON|+|GM|）·|OG|-

1

2

·|QG|·|GM|=

1

2

×2k×10ak2+

1

2

×(10ak2+

49

4

ak2)×

3

2

k-

1

2

×

7

2

k×

49

4

ak2
=

1

2

(29+15+3×

49

8

-7×

49

8

)ak3．
∴S△QNM：S△QNR=(

21

4

ak3)：(35ak3)=3：20．…2分
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．…1分
综上所知，S_△QNM：S_△QNR的值为3：20． …1分
解：（1）如图，过点B作BD⊥OA于点D．在Rt△ABD中，
∵|AB|=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
∴|BD|=|AB|·sin∠OAB=3

5

×

5

5

=3．
又由勾股定理，得|AD|=

|AB|2-|BD|2

=

(3 5 )2-32

=6
∴|OD|=|OA|-|AD|=10-6=4．
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为（4，3）． …3分
设经过O（0，0）、C（4，-3）、A（10，0）三点的抛物线的函数表达式为y=ax²+bx（a≠0）．
由

16a+4b=-3 100a+10b=0

·

a= 1 8 b=- 5 4

∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为y=

1

8

x2-

5

4

x．…2分

（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形
①∵点C（4，-3）不是抛物线y=

1

8

x2-

5

4

x的顶点，
∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P₁．则直线CP₁的函数表达式为y=-3．
对于y=

1

8

x2-

5

4

x，
令y=-3则得x=4或x=6．
∴

x1=4 y1=-3

x2=6 y2=-3

而点C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四边形P1AOC中，CP₁∥OA，显然|CP₁|≠|OA|．
∴点P₁（6，-3）是符合要求的点． …1分
②若AP₂∥CO．
设直线CO的函数表达式为y=k₁x．
将点C（4，-3）代入，
得4k₁=-3
∴k1=-

3

4

∴直线CO的函数表达式为y=-

3

4

x．
于是可设直线AP₂的函数表达式为y=-

3

4

x+b1．
将点A（10，0）代入，得-

3

4

x+

15

2

．
∴直线AP₂的函数表达式为y=-

3

4

x+

15

2

．
由

y=- 3 4 x+ 15 2 y= 1 8 x2- 5 4 x

·x2-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
∴

x1=10 y 1=0

x2=-6 y2=12

而点A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
过点P₂作P₂E⊥x轴于点E，则|P₂E|=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，得|AP2|=

|P2E|2+|AE|2

=

122+162

=20．
而|CO|=|OB|=5．
∴在四边形P₂OCA中，AP₂∥CO，但|AP₂|≠|CO|．
∴点P₂（-6，12）是符合要求的点． …1分
③若OP₃∥CA，设直线CA的函数表达式为y=k₂x+b₂将点A（10，0）、C（4，-3）代入，
得

10k2+b2=0 4k2+b2=-3

∴直线CA的函数表达式为y=

1

2

x-5．
∴直线OP₃的函数表达式为y=

1

2

x，由

y= 1 2 x y= 1 8 x2- 5 4 x

·x2-14x=0，
即x（x-14）=0．
∴

x1=0 y1=0

x2=14 y2=7

而点O（0，0），
∴P₃（14，7）．过点P₃作P₃E⊥x轴于点E，则|P₃E|=7．
在Rt△OP₃E中，由勾股定理，得|OP3|=

|P3F|2+|OF|2

=

72+142

=7

5

．而|CA|=|AB|=3

5

．
∴在四边形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|CA|．
∴点P₃（14，7）是符合要求的点． …1分
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P₁（6，-3）、P₂（-6，12）、P₃（14，7），
使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形． …1分

（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N．
可设抛物线的函数表达式为y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a(x-

3

2

k)2-

49

4

ak2．
如图，过点M作MG⊥x轴于点G．
∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G（(

3

2

k，0)、N（0，-10ak²）、M(

3

2

k，-

49

4

ak2)，
∴|QO|=2k，|QR|=7k，|OG|=

3

2

k，|QG|=

7

2

k，|ON|=10ak2，|MG|=

49

4

ak2．
∴S△QNR=

1

2

·|QR|·|ON|
=

1

2

×7k×10ak²=35ak³．
S_△QMN=

1

2

·|QO|·|ON|+

1

2

（|ON|+|GM|）·|OG|-

1

2

·|QG|·|GM|=

1

2

×2k×10ak2+

1

2

×(10ak2+

49

4

ak2)×

3

2

k-

1

2

×

7

2

k×

49

4

ak2
=

1

2

(29+15+3×

49

8

-7×

49

8

)ak3．
∴S△QNM：S△QNR=(

21

4

ak3)：(35ak3)=3：20．…2分
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．…1分
综上所知，S_△QNM：S_△QNR的值为3：20． …1分