试题

（2008·广元）已知k是大于2的整数，抛物线y₁=

1

2

x²-2x+k-2与x轴有两个不同的交点，与y轴交于点A，直线y₂=（k-2）x+b经过抛物线的顶点M且与抛物线交于点B，与y轴交于点C（如图）
（1）求y₁与y₂的函数解析式．
（2）求证：AB是△AMB的外接圆直径．
（3）求证：∠CAM=∠MBA且CA²=CM·CB．

（1）解：∵抛物线y₁=

1

2

x²-2x+k-2与x轴有两个不同的交点，
∴△＞0，即2²-4×

1

2

×（k-2）＞0，解得k＜4，
而k是大于2的整数，
∴k=3，
∴y₁=

1

2

x²-2x+1；
∴顶点M的坐标为（2，-1），
而y₂=x+b，
把M（2，-1）代入得，-1=2+b，解得b=-3，
∴y₂=x-3；

（2）证明：如图，抛物线的对称轴交AB与D点，
解方程组

y=x-3 y= 1 2 x2 -2x+1

得

x=2 y=

-1或

x=4 y=1

，
∴B点坐标为（4，1），
而A点坐标为（0，1），
∴AB平行于x轴，
∴AB⊥MD，DA=DB，
∴MD=1-（-1）=2，而AB=4，
∴MD=

1

2

AB，
∴△MAB为等腰直角三角形，即∠AMB=90°，
∴AB是△AMB的外接圆直径；

（3）证明：∴AB∥x轴，
∴∠BAO=90°，
∴Rt△CAM∽Rt△CBA，
∴∠CAM=∠MBA，CA：CB=CM：CA，即CA²=CM·CB．
（1）解：∵抛物线y₁=

1

2

x²-2x+k-2与x轴有两个不同的交点，
∴△＞0，即2²-4×

1

2

×（k-2）＞0，解得k＜4，
而k是大于2的整数，
∴k=3，
∴y₁=

1

2

x²-2x+1；
∴顶点M的坐标为（2，-1），
而y₂=x+b，
把M（2，-1）代入得，-1=2+b，解得b=-3，
∴y₂=x-3；

（2）证明：如图，抛物线的对称轴交AB与D点，
解方程组

y=x-3 y= 1 2 x2 -2x+1

得

x=2 y=

-1或

x=4 y=1

，
∴B点坐标为（4，1），
而A点坐标为（0，1），
∴AB平行于x轴，
∴AB⊥MD，DA=DB，
∴MD=1-（-1）=2，而AB=4，
∴MD=

1

2

AB，
∴△MAB为等腰直角三角形，即∠AMB=90°，
∴AB是△AMB的外接圆直径；

（3）证明：∴AB∥x轴，
∴∠BAO=90°，
∴Rt△CAM∽Rt△CBA，
∴∠CAM=∠MBA，CA：CB=CM：CA，即CA²=CM·CB．