试题

（2008·海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x，△PBE的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

（1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．
∴∠DPE=90度．
∴PE⊥PD．

（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形，
四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，
∵AP=x，∴PM=

2

2

x，

∴BF=PM=

2

2

x，PF=1-

2

2

x．
∴S_△PBE=

1

2

BE×PF=BF·PF=

2

2

x×（1-

2

2

x）=-

1

2

x²+

2

2

x．
即y=-

1

2

x²+

2

2

x．（0＜x＜

2

）．
②y=-

1

2

x²+

2

2

x=-

1

2

（x-

2

2

）²+

1

4

∵a=-

1

2

＜0，
∴当x=

2

2

时，y_最大值=

1

4

．
（1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．
∴∠DPE=90度．
∴PE⊥PD．

（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形，
四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，
∵AP=x，∴PM=

2

2

x，

∴BF=PM=

2

2

x，PF=1-

2

2

x．
∴S_△PBE=

1

2

BE×PF=BF·PF=

2

2

x×（1-

2

2

x）=-

1

2

x²+

2

2

x．
即y=-

1

2

x²+

2

2

x．（0＜x＜

2

）．
②y=-

1

2

x²+

2

2

x=-

1

2

（x-

2

2

）²+

1

4

∵a=-

1

2

＜0，
∴当x=

2

2

时，y_最大值=

1

4

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