试题

（2008·湖州）如图甲，在等腰直角三角形OAB中，∠OAB=90°，B点在第一象限，A点坐标为（1，0）．△OCD与△OAB关于y轴对称．
（1）求经过D，O，B三点的抛物线的解析式；
（2）若将△OAB向上平移k（k＞0）个单位至△O′A′B（如图乙），则经过D，O，B′三点的抛物线的对称轴在y轴的．（填“左侧”或“右侧”）
（3）在（2）的条件下，设过D，O，B′三点的抛物线的对称轴为直线x=m．求当k为何值时，|m|=

1

3

．

解：（1）由题意可知：经过D，O，B三点的抛物线的顶点是原点，
故可设所求抛物线的解析式为y=ax²．
∵OA=AB，
∴B点坐标为（1，1）．（1分）
∵B（1，1）在抛物线上，
∴1=a×1²，a=1，（1分）
∴经过D，O，B三点的抛物线解析式是y=x²．（1分）

（2）把△OAB上移，由图可知经过D，O，B′三点的抛物线的对称轴显然在y轴左侧．（1分）

（3）由题意得：点B′的坐标为（1，1+k），（1分）
因为抛物线过原点，
故可设抛物线解析式为y=a₁x²+b₁x，
∵抛物线经过点D（-1，1）和点B′（1，1+k），
∴

1=a1-b1 1+k=a1+b1

．
得a₁=

k+2

2

，b₁=

k

2

．（2分）
∵抛物线对称轴必在y轴的左侧，
∴m＜0，而|m|=

1

3

，
∴m=-

1

3

∴-

k 2

2× k+2 2

=-

1

3

，
∴k=4（2分）
即当k=4时，|m|=

1

3

．（1分）