试题

（2008·旅顺口区）如图1，P₁、P₂、P₃、…、P_n分别是抛物线y=x²与直线y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交点，连接P₁P₂、P₂P₃，…，P_k-1P_k．
（1）求△OP₁P₂的面积，并直接写出△OP₂P₃的面积；
（2）如图2，猜想△OP_k-1P_k的面积，并说明理由；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²，其它条件不变，猜想△OP_k-1P_k的面积（直接写出答案）．

解：（1）∵P₁是抛物线y=x²与直线y=x交点，
由x²=x，解得x₁=1，x₂=0（舍去）
代入，y=x，解得y=1
所以P₁点坐标为（1，1）
同理，可求出P₂点坐标为（2，4）
过P₂作x轴的垂线交直线y=x于M，
过P₁作P₁Q⊥P₂M于N
∵M在直线y=x上，
∴M点坐标为（2，2），
∴P₂M=4-2=2
PN=2-1=1
∴S_△OP1P2=S_△OMP2-S_△P1MP2=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=1．
△OP₂P₃的面积是3

（2）△OP_k-1P_k的面积是

1

2

k（k-1）
方法同（1），求得P_k点坐标为（k，k²），
P_k-1坐标为（k-1，k²-2k+1），
M坐标为（k，k²-k）
∴P_KM=k²-k（k-1）=k
∴S_△OPk-1P_k=

1

2

×k×k-

1

2

×k×1=

1

2

k（k-1）

（3）△OP_k-1P_k的面积是

1

2a2

k（k-1）．
解：（1）∵P₁是抛物线y=x²与直线y=x交点，
由x²=x，解得x₁=1，x₂=0（舍去）
代入，y=x，解得y=1
所以P₁点坐标为（1，1）
同理，可求出P₂点坐标为（2，4）
过P₂作x轴的垂线交直线y=x于M，
过P₁作P₁Q⊥P₂M于N
∵M在直线y=x上，
∴M点坐标为（2，2），
∴P₂M=4-2=2
PN=2-1=1
∴S_△OP1P2=S_△OMP2-S_△P1MP2=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=1．
△OP₂P₃的面积是3

（2）△OP_k-1P_k的面积是

1

2

k（k-1）
方法同（1），求得P_k点坐标为（k，k²），
P_k-1坐标为（k-1，k²-2k+1），
M坐标为（k，k²-k）
∴P_KM=k²-k（k-1）=k
∴S_△OPk-1P_k=

1

2

×k×k-

1

2

×k×1=

1

2

k（k-1）

（3）△OP_k-1P_k的面积是

1

2a2

k（k-1）．