试题

（2008·南昌）如图，抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点P（-

1

2

，

9

8

），且与抛物线y₂=ax²-ax-1相交于A，B两点．
（1）求a值；
（2）设y₁=-ax²-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y₂=ax²-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设A，B两点的横坐标分别记为x_A，x_B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

解：（1）∵点P(-

1

2

，

9

8

)在抛物
y₁=-ax²-ax+1上，
∴-

1

4

a+

1

2

a+1=

9

8

，（2分）
解得a=

1

2

．（3分）

（2）如图，由（1）知a=

1

2

，
∴抛物线y1=-

1

2

x2-

1

2

x+1，y2=

1

2

x2-

1

2

x-1．（5分）
当-

1

2

x2-

1

2

x+1=0时，解得x₁=-2，x₂=1．
∵点M在点N的左边，
∴x_M=-2，x_N=1．（6分）
当

1

2

x2-

1

2

x-1=0时，解得x₃=-1，x₄=2．
∵点E在点F的左边，
∴x_E=-1，x_F=2．（7分）
∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，
∴点M与点F对称，点N与点E对称．（8分）

（3）∵a=

1

2

＞0．
∴抛物线y₁开口向下，抛物线y₂开口向上．（9分）
根据题意，得CD=y₁-y₂=(-

1

2

x2-

1

2

x+1)-(

1

2

x2-

1

2

x-1)=-x2+2．（11分）
∵x_A≤x≤x_B，
∴当x=0时，CD有最大值2．（12分）
解：（1）∵点P(-

1

2

，

9

8

)在抛物
y₁=-ax²-ax+1上，
∴-

1

4

a+

1

2

a+1=

9

8

，（2分）
解得a=

1

2

．（3分）

（2）如图，由（1）知a=

1

2

，
∴抛物线y1=-

1

2

x2-

1

2

x+1，y2=

1

2

x2-

1

2

x-1．（5分）
当-

1

2

x2-

1

2

x+1=0时，解得x₁=-2，x₂=1．
∵点M在点N的左边，
∴x_M=-2，x_N=1．（6分）
当

1

2

x2-

1

2

x-1=0时，解得x₃=-1，x₄=2．
∵点E在点F的左边，
∴x_E=-1，x_F=2．（7分）
∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，
∴点M与点F对称，点N与点E对称．（8分）

（3）∵a=

1

2

＞0．
∴抛物线y₁开口向下，抛物线y₂开口向上．（9分）
根据题意，得CD=y₁-y₂=(-

1

2

x2-

1

2

x+1)-(

1

2

x2-

1

2

x-1)=-x2+2．（11分）
∵x_A≤x≤x_B，
∴当x=0时，CD有最大值2．（12分）