试题

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D，与x轴的另一个交点为C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）判断△DBC的形状，并探讨：△AOB与△BDC是否相似？如果相似，请证明；否则，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，
∴将A（-1，0）、B（0，3）分别代入y=-x²+bx+c得：

0=-1-b+c c=3

，
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）连接OD，做DE⊥OC，
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x）+3=-（x-1）²+4；
∴顶点坐标D为：（1，4），
∵A（-1，0）利用二次函数关于对称轴对称，
∴另一个交点C的坐标为：（3，0），
∴四边形ABDC的面积=S_△AOB+S_△BOD+S_△DOC，
=

1

2

×1×3+

1

2

×1×3+

1

2

×3×4，
=9；

（3）做DF⊥OC，连接BC，
∵BD=

DF2+BF2

=

1+1

=

2

，
CD=

DE2+CE2

=

16+4

=2

5

，
BC=

BO2+CO2

=

9+9

=3

2

，
∴BD²+BC²=CD²，
∴△DBC的形状是直角三角形，
∵

AO

BD

=

1

2

，

BO

BC

=

1

2

，
∴

AO

BD

=

BO

BC

，∠DBC=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△BDC．
解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，
∴将A（-1，0）、B（0，3）分别代入y=-x²+bx+c得：

0=-1-b+c c=3

，
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）连接OD，做DE⊥OC，
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x）+3=-（x-1）²+4；
∴顶点坐标D为：（1，4），
∵A（-1，0）利用二次函数关于对称轴对称，
∴另一个交点C的坐标为：（3，0），
∴四边形ABDC的面积=S_△AOB+S_△BOD+S_△DOC，
=

1

2

×1×3+

1

2

×1×3+

1

2

×3×4，
=9；

（3）做DF⊥OC，连接BC，
∵BD=

DF2+BF2

=

1+1

=

2

，
CD=

DE2+CE2

=

16+4

=2

5

，
BC=

BO2+CO2

=

9+9

=3

2

，
∴BD²+BC²=CD²，
∴△DBC的形状是直角三角形，
∵

AO

BD

=

1

2

，

BO

BC

=

1

2

，
∴

AO

BD

=

BO

BC

，∠DBC=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△BDC．