试题

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．
（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；
（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1，

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴当x=

1

2

时，PE的最大值=

9

4

，
△ACE的面积最大值=

1

2

PE[2-（-1）]=

3

2

PE=

27

8

，

（3）D点关于PE的对称点为点C（2，-3），点Q（0，-1）点关于x轴的对称点为M（0，1），
连接CM交直线PE与M点，交x轴于N点，可求直线CM的解析式为y=-2x+1，此时四边形DMNQ的周长最小，
最小值=|CM|+QD=2

5

+2，
求得M（1，-1），N（

1

2

，0）．

（4）存在如图1，若AF∥CH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，

于是可得F₁（1，0），F₂（-3，0），
如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，

再根据|HA|=|CF|，
求出F₄（4-

7

，0），F₃(4+

7

，0)．
综上所述，满足条件的F点坐标为F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃(4+

7

，0)，F₄（4-

7

，0）．
解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1，

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴当x=

1

2

时，PE的最大值=

9

4

，
△ACE的面积最大值=

1

2

PE[2-（-1）]=

3

2

PE=

27

8

，

（3）D点关于PE的对称点为点C（2，-3），点Q（0，-1）点关于x轴的对称点为M（0，1），
连接CM交直线PE与M点，交x轴于N点，可求直线CM的解析式为y=-2x+1，此时四边形DMNQ的周长最小，
最小值=|CM|+QD=2

5

+2，
求得M（1，-1），N（

1

2

，0）．

（4）存在如图1，若AF∥CH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，

于是可得F₁（1，0），F₂（-3，0），
如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，

再根据|HA|=|CF|，
求出F₄（4-

7

，0），F₃(4+

7

，0)．
综上所述，满足条件的F点坐标为F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃(4+

7

，0)，F₄（4-

7

，0）．