试题

如图，等边三角形ABC的边长为2

3

，它的顶点A在抛物线y=x2-2

3

x上运动，且BC∥x轴，点A在BC的上方．
（1）当顶点A运动至原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？请说明理由．
（2）△ABC在运动过程中被x轴分成两个部分，若上下两部分的面积之比为1：8（即S_上部分：S_下部分=1：8），求顶点A的坐标．
（3）△ABC在运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，求顶点C的坐标．

解：（1）当点A与原点重合时，根据等边三角形的得到点C的坐标为（

3

，-3）
当x=

3

时，代入抛物线的解析式得：y=-3
∴点C的坐标满足抛物线的解析式
∴点A运动至原点重合时，点C是在该抛物线上．

（2）设点A的坐标为（x，y），y＞0，△ABC与轴相交于点M、N
∵S_△AMN：S_{四边形BCNM}=1：8
∴S_△AMN：S_△ABC=1：9
∵BC∥x轴
∴△AMN∽△ABC
∴

S△AMN

S△ABC

=(

y

3

)2=

1

9

∴y=1
∵点A在抛物线上
∴1=x2-2

3

x
解得：x1=

3

+2，x2=

3

-2
∴A的坐标为：（

3

+2，1），（

3

-2，1）

（3）第一种情况：点B落在X轴上，即BC与x轴重合
∴点A的纵坐标为3，代入解析式求得点A的横坐标：
x1=

3

+

6

，x2=

3

-

6

∴点C的横坐标为：x1=2

3

+

6

，x2=2

3

-

6

∴点C的坐标为：（2

3

+

6

，0），2

3

-

6

，0）
第二种情况：点B在y轴上，由图得点A的横坐标为：x=

3

，将其代入抛物线的解析式为
y=3-6=-3
∴点C的纵坐标为-6，横坐标为：2

3

∴C（2

3

，-6）
综上所述，点C的坐标为：
（2

3

+

6

，0），2

3

-

6

，0），（2

3

，-6）

解：（1）当点A与原点重合时，根据等边三角形的得到点C的坐标为（

3

，-3）
当x=

3

时，代入抛物线的解析式得：y=-3
∴点C的坐标满足抛物线的解析式
∴点A运动至原点重合时，点C是在该抛物线上．

（2）设点A的坐标为（x，y），y＞0，△ABC与轴相交于点M、N
∵S_△AMN：S_{四边形BCNM}=1：8
∴S_△AMN：S_△ABC=1：9
∵BC∥x轴
∴△AMN∽△ABC
∴

S△AMN

S△ABC

=(

y

3

)2=

1

9

∴y=1
∵点A在抛物线上
∴1=x2-2

3

x
解得：x1=

3

+2，x2=

3

-2
∴A的坐标为：（

3

+2，1），（

3

-2，1）

（3）第一种情况：点B落在X轴上，即BC与x轴重合
∴点A的纵坐标为3，代入解析式求得点A的横坐标：
x1=

3

+

6

，x2=

3

-

6

∴点C的横坐标为：x1=2

3

+

6

，x2=2

3

-

6

∴点C的坐标为：（2

3

+

6

，0），2

3

-

6

，0）
第二种情况：点B在y轴上，由图得点A的横坐标为：x=

3

，将其代入抛物线的解析式为
y=3-6=-3
∴点C的纵坐标为-6，横坐标为：2

3

∴C（2

3

，-6）
综上所述，点C的坐标为：
（2

3

+

6

，0），2

3

-

6

，0），（2

3

，-6）