试题

已知抛物线y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）与y轴交于点C，与x轴的两个交点A（x₁，0），B（1，0）在原点的两旁．
（1）求m的值及抛物线的顶点P的坐标；
（2）设过A、B、C三点的圆O′与直线y=-x-3交于点E．
①试判断△BCE的形状，并证明你的结论；
②求△ACE的面积．

解：（1）∵B（1，0）在抛物线y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）上，
∴0=-1-2m-2-m²-4m+3，
解得m=0或-6，
当m=-6时，抛物线y=-x²+10x-9，此时A、B两点在原点一侧，
∴m=0，
∴抛物线y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标P（-1，4）；

（2）①由题意可知圆心O′在线段AB的垂直平分线上，
又知AB的垂直平分线是抛物线的对称轴，
故可设O′坐标为（-1，y），C点坐标为（0，3），B点坐标为（1，0），
∵O′A=O′B，
∴1+（y-3）²=4+y²，
解得y=1，
∴圆心O′坐标为（-1，1），
∴圆的方程为（x+1）²+（y-1）²=5，
又∵圆O′与直线y=-x-3交于点E，
∴

(x+1)2+(y-1)2=5 y=-x-3

，
解得x₁=-3，x₂=-2，
∴E点坐标为（-2，-1），
∴设直线CE的方程为y=kx+b，
∴

-1=-2k+b b=3

，
解得k=2，
∴直线CE方程为y=2x-3，
∵点O′坐标为（-1，1），
∴该点在直线CE上，
∴C、O′E三点共线，
∴CE为⊙O′的直径，
∴∠CBE=90°，
∴△BCE为直角三角形；
②∵CE是⊙O′直径，
∴∠CAE是直角，
AE=

(-3+2)2+1

=

2

，AC=

(-3)2+32

=3

2

，
∴S△ACE=

1

2

AE·AC=

1

2

×

2

×3

2

=3．
解：（1）∵B（1，0）在抛物线y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）上，
∴0=-1-2m-2-m²-4m+3，
解得m=0或-6，
当m=-6时，抛物线y=-x²+10x-9，此时A、B两点在原点一侧，
∴m=0，
∴抛物线y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标P（-1，4）；

（2）①由题意可知圆心O′在线段AB的垂直平分线上，
又知AB的垂直平分线是抛物线的对称轴，
故可设O′坐标为（-1，y），C点坐标为（0，3），B点坐标为（1，0），
∵O′A=O′B，
∴1+（y-3）²=4+y²，
解得y=1，
∴圆心O′坐标为（-1，1），
∴圆的方程为（x+1）²+（y-1）²=5，
又∵圆O′与直线y=-x-3交于点E，
∴

(x+1)2+(y-1)2=5 y=-x-3

，
解得x₁=-3，x₂=-2，
∴E点坐标为（-2，-1），
∴设直线CE的方程为y=kx+b，
∴

-1=-2k+b b=3

，
解得k=2，
∴直线CE方程为y=2x-3，
∵点O′坐标为（-1，1），
∴该点在直线CE上，
∴C、O′E三点共线，
∴CE为⊙O′的直径，
∴∠CBE=90°，
∴△BCE为直角三角形；
②∵CE是⊙O′直径，
∴∠CAE是直角，
AE=

(-3+2)2+1

=

2

，AC=

(-3)2+32

=3

2

，
∴S△ACE=

1

2

AE·AC=

1

2

×

2

×3

2

=3．