试题

如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3），
∴

-16+4b+c=0 -1+b+c=3

，
∴

b=4 c=0

，
∴抛物线的表达式y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），

（2）假设存在P（a，0），
①当PB=PA时，

(1-a)2+32

=|4-a|，
解得a=1，
此时P点坐标为（1，0），
②当PB=BA时，

(1-a)2+32

=

32+(1-4)2

，
解得a=-2，
此时P点坐标为（-2，0），
③当PA=AB时，
|a-4|=3

2

，
解得a=4+3

2

或a=4-3

2

，
此时P点坐标为（4+3

2

，0）或（4-3

2

，0），
综上所述，满足条件P的坐标（1，0）、（-2，0）、（4+3

2

，0）或（4-3

2

，0）．
解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3），
∴

-16+4b+c=0 -1+b+c=3

，
∴

b=4 c=0

，
∴抛物线的表达式y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），

（2）假设存在P（a，0），
①当PB=PA时，

(1-a)2+32

=|4-a|，
解得a=1，
此时P点坐标为（1，0），
②当PB=BA时，

(1-a)2+32

=

32+(1-4)2

，
解得a=-2，
此时P点坐标为（-2，0），
③当PA=AB时，
|a-4|=3

2

，
解得a=4+3

2

或a=4-3

2

，
此时P点坐标为（4+3

2

，0）或（4-3

2

，0），
综上所述，满足条件P的坐标（1，0）、（-2，0）、（4+3

2

，0）或（4-3

2

，0）．