试题

已知抛物线y=ax²+3ax+b交x轴分别于A、B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图（1），P为抛物线第三象限的点，若S_△PAC=2S_△PBC，求P点坐标；
（3）如图（2），D为抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点Q，使△ADQ为锐角三角形？若存在，求出Q点横坐标的取值范围．

解：（1）把B（1，0），C（0，2）代入y=ax²+3ax+b中，得

a+3a+b=0 b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x2-

3

2

x+2；

（2）设PC交x轴于M，由（1）可知，A（-4，0），
∴AB=5，
若S_△PAC=2S_△PBC，
则AM=2MB=

2

3

AB=

10

3

，M点横坐标为-（4-AM）=-

2

3

，
∴直线CM：y=3x+2，联立

y=3x+2 y=- 1 2 x2- 3 2 x+2

得P（-9，-25）；

（3）连接CD，
∵A（-4，0），D（-

3

2

，

25

8

），
∴直线AD：y=

5

4

x+5，
过A作AD的垂线，交抛物线于N点，
则直线AN：y=-

4

5

x-

16

5

，联立

y=- 4 5 x- 16 5 y=- 1 2 x2- 3 2 x+2

，
解得N（

13

5

，-

132

25

），
同理，过D作AD的垂线，得N′（

1

10

，

1917

100

），
∴

1

10

＜x_Q＜

13

5

．
解：（1）把B（1，0），C（0，2）代入y=ax²+3ax+b中，得

a+3a+b=0 b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x2-

3

2

x+2；

（2）设PC交x轴于M，由（1）可知，A（-4，0），
∴AB=5，
若S_△PAC=2S_△PBC，
则AM=2MB=

2

3

AB=

10

3

，M点横坐标为-（4-AM）=-

2

3

，
∴直线CM：y=3x+2，联立

y=3x+2 y=- 1 2 x2- 3 2 x+2

得P（-9，-25）；

（3）连接CD，
∵A（-4，0），D（-

3

2

，

25

8

），
∴直线AD：y=

5

4

x+5，
过A作AD的垂线，交抛物线于N点，
则直线AN：y=-

4

5

x-

16

5

，联立

y=- 4 5 x- 16 5 y=- 1 2 x2- 3 2 x+2

，
解得N（

13

5

，-

132

25

），
同理，过D作AD的垂线，得N′（

1

10

，

1917

100

），
∴

1

10

＜x_Q＜

13

5

．