试题

如图：已知y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，A，B坐标分别是（-1，0）和（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式，并确定其对称轴；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△ACE的周长最小？若存在，求出点E的坐标，并求出最小周长；若不存在，请说明理由；
（3）在第一象限内抛物线上是否存在一点D，使得四边形OCDB的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得：

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c

解得：

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，对称轴为：x=-

b

2a

=1；

（2）存在．
连接BC．设BC表达式为：y=kx+b．由题意得：

0=3k+b 3=b

     
解得：b=3，k=-1 
∴y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2
∴点E坐标为（1，2）．此时△ACE的周长最小，周长=AC+BC
在直角三角形AOC和直角三角形BOC中，由勾股定理得：
AC=

10

，BC=3

2

∴周长=AC+BC=

10

+3

2

；

（3）存在．设点D如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，
设点D的坐标为（a，-a²+2a+3），则E点坐标为（0，-a²+2a+3）
∴EC=-a²+2a+3-3=-a²+2a，DE=a
S_{四边形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△EDC=

1

2

（a+3）（-a²+2a+3）-

1

2

a（-a²+2a）
即S=-

3

2

a2+

9

2

a+

9

2

，
S=-

3

2

(a-

3

2

)2+

63

8

当a=

3

2

时，S_最大=

63

8

当a=

3

2

时，-(

3

2

)2+2×(

3

2

)+3=

15

4

，
∴此时点D的坐标是(

3

2

，

15

4

)．
解：（1）由题意得：

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c

解得：

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，对称轴为：x=-

b

2a

=1；

（2）存在．
连接BC．设BC表达式为：y=kx+b．由题意得：

0=3k+b 3=b

     
解得：b=3，k=-1 
∴y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2
∴点E坐标为（1，2）．此时△ACE的周长最小，周长=AC+BC
在直角三角形AOC和直角三角形BOC中，由勾股定理得：
AC=

10

，BC=3

2

∴周长=AC+BC=

10

+3

2

；

（3）存在．设点D如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，
设点D的坐标为（a，-a²+2a+3），则E点坐标为（0，-a²+2a+3）
∴EC=-a²+2a+3-3=-a²+2a，DE=a
S_{四边形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△EDC=

1

2

（a+3）（-a²+2a+3）-

1

2

a（-a²+2a）
即S=-

3

2

a2+

9

2

a+

9

2

，
S=-

3

2

(a-

3

2

)2+

63

8

当a=

3

2

时，S_最大=

63

8

当a=

3

2

时，-(

3

2

)2+2×(

3

2

)+3=

15

4

，
∴此时点D的坐标是(

3

2

，

15

4

)．