试题

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（6，8），点D坐标为（9，0），过B作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C，点P沿OC自点O向点C运动，同时点Q沿OA向点A运动，点Q与点P的速度之比为1：n，连接PB、PQ．
（1）求经过C、B、D三点的抛物线；
（2）当n=时，∠OPQ=30°；当n=时，∠OPQ=45°；当n=时，∠OPQ=60°；
（3）若存在PB⊥PQ，试求OQ的取值范围；
（4）点M为四边形OABC边上的某点，请求出能使△MBD为等腰三角形的点M的坐标．

解：（1）设经过C、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵点B的坐标为（6，8），
B作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C，
∴四边形BCOA是矩形，
∴OC=AB=8，
∴C的坐标是（0，8），
∵点D坐标为（9，0），
∴

8=36a+6b+c 0=81a+8b+c 8=c

，
解得：

a=- 8 27 b= 16 9 c=8

，
故经过C、B、D三点的抛物线的解析式是y=-

8

27

x2+

16

9

x+8；

（2）若使∠OPQ=30°，即tan∠OPQ=

OQ

PO

=

3

3

，
则

n

1

=

3

3

，
解得n=

3

3

，
若使∠OPQ=45°，则OP=OQ，
则n=1，
若使∠OPQ=60°，tan∠OPQ=

OQ

PO

=

3

，
则

n

1

=

3

，
解得n=

3

，
故答案为：

3

3

，1，

3

；

（3）若存在PB⊥PQ，则∠BPQ=90°，
∵∠C=∠POQ=90°，
∴∠CPB+∠CBP=90°，∠CPB+∠OPQ=90°，
∴∠CBP=∠OPQ，
∴△BCP∽△PBQ，
∴

BC

PO

=

CP

OQ

，
设OQ=x，则有PO=xn，
∴

6

xn

=

8-xn

x

，
化简得：xn²-8n+6=0，
∵△=（-8）2-4·x·6≥0，
∴x≤

8

3

，
∵OQ=x是线段的长度，
∴0＜OQ≤

8

3

；

（4）①当DB=DM时，以D为圆心，DB为半径作圆D，交矩形OA边于M₁，求得M₁的坐标为（9-

73

，0）；
②BM=DM时，以B为圆心，以BD为半径作圆B，交OA边于M₂，交OC边于M₃，由勾股定理得：M₂的坐标为（3，0），M₃的坐标为（0，8-

37

）；
③MA=MB时，作BD垂直平分线分别交矩形AB边M4，交OC边于M5，由勾股定理得M₄的坐标为（6，

55

16

），M₅的坐标为（0，

19

16

）；
综上所述符合条件要求的M有五个点，它们的坐标分别是（9-

73

，0）、（3，0）、（0，8-

37

）、（6，

55

16

）、（0，

19

16

）．