试题

如图1、四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E，
（1）求OE的长；
（2）求过O、D、C三点抛物线的解析式；
（3）如图2过D做矩形DFGH，FG在x轴上，H在（2）中的抛物线上，求矩形DFGH的面积S是多少？

解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
在△CDE和△AOE中，

∠DEC=∠OEA ∠EDC=∠EOA DC=OA

，
∴△CDE≌△AOE（AAS）．
∴OE=DE．
∴OE²+OA²=（AD-DE）²，
即OE²+4²=（8-OE）²，
解之，得OE=3．

（2）由（1）得出：EC=8-3=5．
如图1，过D作DG⊥EC于G，
∵∠DGE=∠CDE，∠DEG=∠CED，
∴△DGE∽△CDE．
∴

DE

EC

=

DG

CD

，
∴DG=

12

5

，EG=

9

5

．
∴D（

24

5

，

12

5

）．
因为O点为坐标原点，
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax²+bx．
∴

64a+8b=0 ( 24 5 )2a+ 24 5 b= 12 5

，
解之，得

a=- 5 32 b= 5 4

，
∴抛物线的解析式为：y=-

5

32

x²+

5

4

x；

（3）∵C点坐标为：（8，0），
∴对称轴为：直线x=4，
∵D（

24

5

，

12

5

），
∴H点与D点关于直线x=4对称，
∴H点坐标为；（

16

5

，

12

5

），
∴HD=

24

5

-

16

5

=

8

5

，
∴矩形DFGH的面积S为：DF×DH=

12

5

×

8

5

=

96

25

．
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
在△CDE和△AOE中，

∠DEC=∠OEA ∠EDC=∠EOA DC=OA

，
∴△CDE≌△AOE（AAS）．
∴OE=DE．
∴OE²+OA²=（AD-DE）²，
即OE²+4²=（8-OE）²，
解之，得OE=3．

（2）由（1）得出：EC=8-3=5．
如图1，过D作DG⊥EC于G，
∵∠DGE=∠CDE，∠DEG=∠CED，
∴△DGE∽△CDE．
∴

DE

EC

=

DG

CD

，
∴DG=

12

5

，EG=

9

5

．
∴D（

24

5

，

12

5

）．
因为O点为坐标原点，
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax²+bx．
∴

64a+8b=0 ( 24 5 )2a+ 24 5 b= 12 5

，
解之，得

a=- 5 32 b= 5 4

，
∴抛物线的解析式为：y=-

5

32

x²+

5

4

x；

（3）∵C点坐标为：（8，0），
∴对称轴为：直线x=4，
∵D（

24

5

，

12

5

），
∴H点与D点关于直线x=4对称，
∴H点坐标为；（

16

5

，

12

5

），
∴HD=

24

5

-

16

5

=

8

5

，
∴矩形DFGH的面积S为：DF×DH=

12

5

×

8

5

=

96

25

．