试题

如图，已知抛物线y=-

2

3

x2+

4

3

x+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，
求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）在抛物线上是否存在点P，使得△MBQ与△CPQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）把x=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得点C的坐标为C（0，2），
把y=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得点B的坐标为B（3，0）；

（2）如图1，连接OP，设点P的坐标为P（x，y）
S_{四边形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=

1

2

×2×x+

1

2

×3×y，
=x+

3

2

（-

2

3

x²+

4

3

x+2），
=-x²+3x+3，
∵点M运动到B点上停止，
∴0≤x≤3，
∴S=-（x-

3

2

）²+

21

4

（0≤x≤3）；

（3）存在．
∵BC=

BO2+CO2

=

13

，
①如图2，若BQ=DQ，
∵BQ=DQ，BD=2，∴BM=1，
∴OM=3-1=2，
∴tan∠OBC=

QM

BM

=

OC

OB

=

2

3

，
∴QM=

2

3

，
所以Q的坐标为Q（2，

2

3

）．
②如图3，若BQ=BD=2，
∵QM∥CO，
∴△BQM∽△BCO，
∴

BQ

BC

=

QM

CO

=

BM

BO

，
∴

2

13

=

QM

2

，
∴QM=

4 13

13

，
∵

BQ

BC

=

BM

OB

，
∴

2

13

=

BM

3

，
∴BM=

6 13

13

，
∴OM=3-

6 13

13

，
∴Q点的坐标为：（3-

6 13

13

，

4 13

13

）；

（4）如图4，当△MBQ∽△PCQ，
则∠BMQ=∠QPC=90°，
此时PC∥AB，
故P点纵坐标为：2，代入二次函数解析式，即可得出：
2=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
解得：x=0或2，
故P点坐标为：（2，2），
当△MBQ∽△CPQ，
则∠PCQ=∠BMQ=90°，
即PC⊥BC，
∵C点坐标为：（0，2），B点坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则

b=2 3k+b=0

，
解得：k=-

2

3

，
则直线BC的解析式为：y=-

2

3

x+2，
故与直线BC垂直且过C点的直线EF解析式为：y=

3

2

x+2，
将y=

3

2

x+2与y=-

2

3

x²+

4

3

x+2联立得：

3

2

x+2=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
解得：x=0或-

1

4

，
则y=2或

13

8

，
当x=-

1

4

时，P点在第2象限，故此时不符合题意，
综上所述，抛物线上存在点P，使得△MBQ∽△PCQ，此时P点坐标为：（2，2）．
解：（1）把x=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得点C的坐标为C（0，2），
把y=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得点B的坐标为B（3，0）；

（2）如图1，连接OP，设点P的坐标为P（x，y）
S_{四边形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=

1

2

×2×x+

1

2

×3×y，
=x+

3

2

（-

2

3

x²+

4

3

x+2），
=-x²+3x+3，
∵点M运动到B点上停止，
∴0≤x≤3，
∴S=-（x-

3

2

）²+

21

4

（0≤x≤3）；

（3）存在．
∵BC=

BO2+CO2

=

13

，
①如图2，若BQ=DQ，
∵BQ=DQ，BD=2，∴BM=1，
∴OM=3-1=2，
∴tan∠OBC=

QM

BM

=

OC

OB

=

2

3

，
∴QM=

2

3

，
所以Q的坐标为Q（2，

2

3

）．
②如图3，若BQ=BD=2，
∵QM∥CO，
∴△BQM∽△BCO，
∴

BQ

BC

=

QM

CO

=

BM

BO

，
∴

2

13

=

QM

2

，
∴QM=

4 13

13

，
∵

BQ

BC

=

BM

OB

，
∴

2

13

=

BM

3

，
∴BM=

6 13

13

，
∴OM=3-

6 13

13

，
∴Q点的坐标为：（3-

6 13

13

，

4 13

13

）；

（4）如图4，当△MBQ∽△PCQ，
则∠BMQ=∠QPC=90°，
此时PC∥AB，
故P点纵坐标为：2，代入二次函数解析式，即可得出：
2=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
解得：x=0或2，
故P点坐标为：（2，2），
当△MBQ∽△CPQ，
则∠PCQ=∠BMQ=90°，
即PC⊥BC，
∵C点坐标为：（0，2），B点坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则

b=2 3k+b=0

，
解得：k=-

2

3

，
则直线BC的解析式为：y=-

2

3

x+2，
故与直线BC垂直且过C点的直线EF解析式为：y=

3

2

x+2，
将y=

3

2

x+2与y=-

2

3

x²+

4

3

x+2联立得：

3

2

x+2=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
解得：x=0或-

1

4

，
则y=2或

13

8

，
当x=-

1

4

时，P点在第2象限，故此时不符合题意，
综上所述，抛物线上存在点P，使得△MBQ∽△PCQ，此时P点坐标为：（2，2）．