试题

如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．且A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．

（1）求点B的坐标；
（2）探究：坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

解：（1）由题意，设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1），
将E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点B的坐标为（1，4）；

（2）在△ABE中，∵AB²=（3-1）²+（0-4）²=20，AE²=（3-0）²+（0-3）²=18，BE²=（1-0）²+（4-3）²=2，
∴AB²=AE²+BE²，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=

BE

AE

=

2 18

=

1

3

，sin∠BAE=

BE

AB

=

2 20

=

10

10

，cos∠BAE=

AE

AB

=

18 20

=

3 10

10

．
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形．
①DE为斜边时，P₁在x轴上，此时P₁与O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO=

1

3

=tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE，
满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P₁点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P₂在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=

10

10

；而DE=

12+32

=

10

，
则DP₂=DE÷sin∠DP₂E=

10

÷

10

10

=10，OP₂=DP₂-OD=9，
即：P₂（9，0）；
③DE为长直角边时，点P₃在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=

3 10

10

；
则EP₃=DE÷cos∠DEP₃=

10

÷

3 10

10

=

10

3

，OP₃=EP₃-OE=

1

3

；
综上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，-

1

3

）；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，解得

k=-2 b=6

，
∴y=-2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=

3

2

，
∴F（

3

2

，3）．
情况一：如图1，当0＜t≤

3

2

时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．
则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHG∽△FHM，得

AG

FM

=

HK

HL

，
即

t

3 2 -t

=

HK

3-HK

，解得HK=2t．
∴S_阴=S_△MNG-S_△SNA-S_△HAG=

1

2

×3×3-

1

2

（3-t）²-

1

2

t·2t=-

3

2

t²+3t；
情况二：如图2，当

3

2

＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得

AQ

FP

=

IQ

IP

，
即

3-t

t- 3 2

=

IQ

3-IQ

，解得IQ=2（3-t）．
∵AQ=VQ=3-t，
∴S_阴=

1

2

IV·AQ=

1

2

（3-t）²=

1

2

t²-3t+

9

2

．
综上所述：s=

- 3 2 t2+3t(0＜t≤ 3 2 ) 1 2 t2-3t+ 9 2 ( 3 2 ＜t≤3)

．
解：（1）由题意，设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1），
将E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点B的坐标为（1，4）；

（2）在△ABE中，∵AB²=（3-1）²+（0-4）²=20，AE²=（3-0）²+（0-3）²=18，BE²=（1-0）²+（4-3）²=2，
∴AB²=AE²+BE²，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=

BE

AE

=

2 18

=

1

3

，sin∠BAE=

BE

AB

=

2 20

=

10

10

，cos∠BAE=

AE

AB

=

18 20

=

3 10

10

．
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形．
①DE为斜边时，P₁在x轴上，此时P₁与O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO=

1

3

=tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE，
满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P₁点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P₂在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=

10

10

；而DE=

12+32

=

10

，
则DP₂=DE÷sin∠DP₂E=

10

÷

10

10

=10，OP₂=DP₂-OD=9，
即：P₂（9，0）；
③DE为长直角边时，点P₃在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=

3 10

10

；
则EP₃=DE÷cos∠DEP₃=

10

÷

3 10

10

=

10

3

，OP₃=EP₃-OE=

1

3

；
综上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，-

1

3

）；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，解得

k=-2 b=6

，
∴y=-2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=

3

2

，
∴F（

3

2

，3）．
情况一：如图1，当0＜t≤

3

2

时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．
则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHG∽△FHM，得

AG

FM

=

HK

HL

，
即

t

3 2 -t

=

HK

3-HK

，解得HK=2t．
∴S_阴=S_△MNG-S_△SNA-S_△HAG=

1

2

×3×3-

1

2

（3-t）²-

1

2

t·2t=-

3

2

t²+3t；
情况二：如图2，当

3

2

＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得

AQ

FP

=

IQ

IP

，
即

3-t

t- 3 2

=

IQ

3-IQ

，解得IQ=2（3-t）．
∵AQ=VQ=3-t，
∴S_阴=

1

2

IV·AQ=

1

2

（3-t）²=

1

2

t²-3t+

9

2

．
综上所述：s=

- 3 2 t2+3t(0＜t≤ 3 2 ) 1 2 t2-3t+ 9 2 ( 3 2 ＜t≤3)

．