试题

如图：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与y轴的交点为D，与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）求a，b的值；   
（2）写出顶点C的坐标为；
（3）计算四边形ACDO的面积；
（4）在y轴上是否存在点F，使得△ACF是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）将A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3，

9a-3b+3=0 a+b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

，
故a=-1，b=-2，

（2）∵a=-1，b=-2，
∴y=-x²-2x+3，
=-（x+1） ²+4，
故顶点C的坐标为（-1，4）；
故答案为：（-1，4）；

（3）如图1所示：∵y=-x²-2x+3，
当x=0，得出y=3，
∴D点坐标为：（0，3），
∵C的坐标为（-1，4），A（-3，0），
∴AH=2，CH=4，HO=1，OD=3，
∴S_{四边形ACDO}=S_△ACH+S_{四边形CHOD}=

1

2

×2×4+

1

2

（3+4）×1=

15

2

；

（4）如图2，假设在y轴上存在满足条件的点F，过点C作CE⊥y轴于点E，
由∠CFA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠FOA=90°，
∴△CEF∽△FOA，∴

CE

EF

=

FO

AO

，
设F（0，c），则

1

4-c

=

c

3

．
变形得c²-4c+3=0，
解得：c₁=3，c₂=1．
综合上述：在y轴上存在点F（0，3）或（0，1），使△ACF是以AC为斜边的直角三角形．