试题

已知，如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=0，x ₂=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=1+

17

，x ₂=1-

17

，
∴M点的坐标为：（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²，
∴S_△BEQ=

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
当x=-

b

2a

=

2

2× 1 3

=3时，S_△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），
由-

1

2

x²+x+4=2，
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
此时，点P的坐标为：P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得出：
OM=

1

2

OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-

1

2

x²+x+4=3，
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
此时，点P的坐标为：P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴点O到AC的距离为2

2

，而OF=OD=2＜2

2

，
∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：
P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）或P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）．
解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=0，x ₂=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=1+

17

，x ₂=1-

17

，
∴M点的坐标为：（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²，
∴S_△BEQ=

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
当x=-

b

2a

=

2

2× 1 3

=3时，S_△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），
由-

1

2

x²+x+4=2，
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
此时，点P的坐标为：P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得出：
OM=

1

2

OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-

1

2

x²+x+4=3，
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
此时，点P的坐标为：P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴点O到AC的距离为2

2

，而OF=OD=2＜2

2

，
∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：
P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）或P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）．