试题

如图，直线y=

1

2

x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=-

5

4

x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．
（1）求B点坐标以及抛物线的函数解析式．
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C运动，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P运动的时间为t秒，求线段MN的长与t的函数关系式，当t为何值时，MN的长最大，最大值是多少？
（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由．

解：（1）∵y=

1

2

x+1，
∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1），
当x=3时，y=

1

2

×3+1=2.5，即B点坐标为（3，2.5），
将A（0，1），B（3，2.5）代入y=-

5

4

x²+bx+c，
得

c=1 - 5 4 ×9+3b+c=2.5

，
解得：

b= 17 4 c=1

，
∴抛物线的函数解析式为y=-

5

4

x²+

17

4

x+1；

（2）∵OP=1·t=t，
∴P（t，0），M（t，

1

2

t+1），N（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
∴MN=NP-MP=（-

5

4

t²+

17

4

t+1）-（

1

2

t+1）=-

5

4

t²+

15

4

t，
即线段MN的长与t的函数关系式为MN=-

5

4

t²+

15

4

t（0≤t≤3）；
∵-

5

4

t²+

15

4

t=-

5

4

（t²-3t）=-

5

4

（t-

3

2

）²+

45

16

，
∴当t=

3

2

时，MN的长最大，最大值是

45

16

；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
此时，有-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，
解得t₁=1，t₂=2，
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形；
当t=1时，MN=-

5

4

×1²+

15

4

×1=

5

2

，MP=

1

2

×1+1=

3

2

，PC=3-1=2，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

，
故MN=MC，此时平行四边形BCMN为菱形；
当t=2时，MN=-

5

4

×2²+

15

4

×2=

5

2

，MP=

1

2

×2+1=2，PC=3-2=1，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

22+12

=

5

，
故MN≠MC，此时平行四边形BCMN不是菱形．
解：（1）∵y=

1

2

x+1，
∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1），
当x=3时，y=

1

2

×3+1=2.5，即B点坐标为（3，2.5），
将A（0，1），B（3，2.5）代入y=-

5

4

x²+bx+c，
得

c=1 - 5 4 ×9+3b+c=2.5

，
解得：

b= 17 4 c=1

，
∴抛物线的函数解析式为y=-

5

4

x²+

17

4

x+1；

（2）∵OP=1·t=t，
∴P（t，0），M（t，

1

2

t+1），N（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
∴MN=NP-MP=（-

5

4

t²+

17

4

t+1）-（

1

2

t+1）=-

5

4

t²+

15

4

t，
即线段MN的长与t的函数关系式为MN=-

5

4

t²+

15

4

t（0≤t≤3）；
∵-

5

4

t²+

15

4

t=-

5

4

（t²-3t）=-

5

4

（t-

3

2

）²+

45

16

，
∴当t=

3

2

时，MN的长最大，最大值是

45

16

；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
此时，有-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，
解得t₁=1，t₂=2，
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形；
当t=1时，MN=-

5

4

×1²+

15

4

×1=

5

2

，MP=

1

2

×1+1=

3

2

，PC=3-1=2，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

，
故MN=MC，此时平行四边形BCMN为菱形；
当t=2时，MN=-

5

4

×2²+

15

4

×2=

5

2

，MP=

1

2

×2+1=2，PC=3-2=1，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

22+12

=

5

，
故MN≠MC，此时平行四边形BCMN不是菱形．