试题

如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=-

1

3

x²+

4

3

x+4交y轴于A，分别交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，-2）．
（1）当点P、Q分别从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．
（3）在运动过程中，当点P、Q分别从C、F两点同时出发，点P以每秒1个长度单位的速度沿CB方向运动，点Q以某一速度沿FA方向运动，当点P运动时间t=1.5时，∠PDQ=45°，求点Q的运动速度．

解：（1）∵抛物线的解析式为y=-

1

3

x²+

4

3

x+4，
∴抛物线与y轴于A，可求出A点的作标为：（0，4）、
∵交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，即0=-

1

3

x²+

4

3

x+4，
解得：x=-2或6，
∴B（-2，0）、C（6，0），
把y=4代入y=-

1

3

x²+

4

3

x+4，
4=-

1

3

x²+

4

3

x+4，
∴-

1

3

x²+

4

3

x=0，
解得：x=0或4，
∴OE=OA=4，
∴四边形OADE为正方形．连接MQ．
根据题意，可知OE=OA=4，OC=6OB=OF=2，
∴CE=2，
∴CO=FA=6，
∵运动的时间为t，
∴CP=FQ=t，
过M作MN⊥OE于N，则MN=2，
当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t，
∴S=S_△OQM+S_△OPM=

1

2

（6-t）×2+

1

2

（6-t）（2-t）=

1

2

（6-t）（4-t），
∴S=

1

2

t=t²-5t+12．
当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，
当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，
∵FQ=CP=t，FO=CE=2，
∴OQ=EP，
∴△QOM≌△PEM，
∴四边形OPMQ的面积S=S_△MOE=

1

2

×4×2=4，
综上所述，当0≤t＜2时，S=

1

2

t²-5t+12；当2＜t＜6时，S=4．

（2）分三种情况：
①以BF为底边时，经过点C作BF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（1，5）；
②以CF为底边时，经过点B作CF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（5，

7

3

）；
③以BC为底边时，经过点F作BC的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（2+

22

，-2）或（2-

22

，-2）．
故在抛物线上存在点N₁（1，5），N₂（5，

7

3

），N₃（2+

22

，-2），N₄（2-

22

，-2），
使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形；

（3）连接PO并延长，做QW⊥DO与一点W，连接PD，
∵点P运动时间t=1.5时，∠PDQ=45°，∠ODE=45°，
∴∠ODF=∠EDP，∠DEP=∠QWD=90°，
∴△QWD∽△PED，
∴

PE

DE

=

QW

DW

=

0.5

4

=

1

8

，
∵OD=4

2

，WQ=WO，
∴

WQ

WQ+4 2

=

1

8

，
解得：WQ=

4 2

7

，
∵WQ=WO，∠QWD=90°，
∴利用勾股定理解得：OF=

8

7

，
∴FQ=2-

8

7

=

6

7

，此时Q运动了1.5秒，

6

7

÷1.5=

4

7

，
∴点Q的运动速度是每秒

4

7

个单位长度．
解：（1）∵抛物线的解析式为y=-

1

3

x²+

4

3

x+4，
∴抛物线与y轴于A，可求出A点的作标为：（0，4）、
∵交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，即0=-

1

3

x²+

4

3

x+4，
解得：x=-2或6，
∴B（-2，0）、C（6，0），
把y=4代入y=-

1

3

x²+

4

3

x+4，
4=-

1

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x²+

4

3

x+4，
∴-

1

3

x²+

4

3

x=0，
解得：x=0或4，
∴OE=OA=4，
∴四边形OADE为正方形．连接MQ．
根据题意，可知OE=OA=4，OC=6OB=OF=2，
∴CE=2，
∴CO=FA=6，
∵运动的时间为t，
∴CP=FQ=t，
过M作MN⊥OE于N，则MN=2，
当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t，
∴S=S_△OQM+S_△OPM=

1

2

（6-t）×2+

1

2

（6-t）（2-t）=

1

2

（6-t）（4-t），
∴S=

1

2

t=t²-5t+12．
当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，
当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，
∵FQ=CP=t，FO=CE=2，
∴OQ=EP，
∴△QOM≌△PEM，
∴四边形OPMQ的面积S=S_△MOE=

1

2

×4×2=4，
综上所述，当0≤t＜2时，S=

1

2

t²-5t+12；当2＜t＜6时，S=4．

（2）分三种情况：
①以BF为底边时，经过点C作BF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（1，5）；
②以CF为底边时，经过点B作CF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（5，

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）；
③以BC为底边时，经过点F作BC的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（2+

22

，-2）或（2-

22

，-2）．
故在抛物线上存在点N₁（1，5），N₂（5，

7

3

），N₃（2+

22

，-2），N₄（2-

22

，-2），
使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形；

（3）连接PO并延长，做QW⊥DO与一点W，连接PD，
∵点P运动时间t=1.5时，∠PDQ=45°，∠ODE=45°，
∴∠ODF=∠EDP，∠DEP=∠QWD=90°，
∴△QWD∽△PED，
∴

PE

DE

=

QW

DW

=

0.5

4

=

1

8

，
∵OD=4

2

，WQ=WO，
∴

WQ

WQ+4 2

=

1

8

，
解得：WQ=

4 2

7

，
∵WQ=WO，∠QWD=90°，
∴利用勾股定理解得：OF=

8

7

，
∴FQ=2-

8

7

=

6

7

，此时Q运动了1.5秒，

6

7

÷1.5=

4

7

，
∴点Q的运动速度是每秒

4

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个单位长度．