试题

抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0）点B（3，0），其开口向上，点C是抛物线与y轴的交点，且OC=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将抛物线x轴下方的部分沿x轴对折交y轴于点C，若直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个，求b的取值范围；
（3）如图②，过点B作BD⊥x轴，交AC的延长线于点D，设点C的上方有一点P（0，t），且△PAD的面积为15，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与△PAD总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0）点B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
∵OC=3OA，
∴C点的坐标为（0，-3），
把C的坐标代入y=a（x-1）（x-3），
解得a=1，
∴y=x²-2x-3；
（2）由题意可知翻折后的抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
①当直线过（3，0）时，b=3，当直线过（-1，0）时，b=-1，
∴当-1＜b＜3时，直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个；
②由

y=-x2+2x+3 y=-x+b

得：x2-3x+b-3=0，
∵直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个，
∴△=9-4（b-3）=0，
∴b=

21

4

，
综上可知以及结合图形可知当-1＜b＜3时或b＞

21

4

时，直线和曲线有两个交点；

（3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

，
∴y=-3x-3，
当x=3时，y=-12，
∴D（3，-12）
∴（t+3）×4=15，
∴t=

9

2

，
即P的坐标为（0，

9

2

），
设平移后的抛物线解析式为y=（x-1）²+m，
则当抛物线过点P时，

9

2

=（0-1）²+m，
解得m=

7

2

，此时抛物线向上平移了

15

2

个单位，
当抛物线过D点时，-9=（-3+1）²+m，
解得m=-13，
又因为-12=（3-1）²+m，解得m=-16，此时抛物线向下平移了12个单位，
综上可知抛物线最多向上平移

15

2

个单位，向下最多平移12个单位．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0）点B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
∵OC=3OA，
∴C点的坐标为（0，-3），
把C的坐标代入y=a（x-1）（x-3），
解得a=1，
∴y=x²-2x-3；
（2）由题意可知翻折后的抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
①当直线过（3，0）时，b=3，当直线过（-1，0）时，b=-1，
∴当-1＜b＜3时，直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个；
②由

y=-x2+2x+3 y=-x+b

得：x2-3x+b-3=0，
∵直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个，
∴△=9-4（b-3）=0，
∴b=

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，
综上可知以及结合图形可知当-1＜b＜3时或b＞

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时，直线和曲线有两个交点；

（3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

，
∴y=-3x-3，
当x=3时，y=-12，
∴D（3，-12）
∴（t+3）×4=15，
∴t=

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，
即P的坐标为（0，

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），
设平移后的抛物线解析式为y=（x-1）²+m，
则当抛物线过点P时，

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=（0-1）²+m，
解得m=

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，此时抛物线向上平移了

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个单位，
当抛物线过D点时，-9=（-3+1）²+m，
解得m=-13，
又因为-12=（3-1）²+m，解得m=-16，此时抛物线向下平移了12个单位，
综上可知抛物线最多向上平移

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个单位，向下最多平移12个单位．