试题

如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB
（1）求点B的坐标；
（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（3）直线y=

3

2

x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；
（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，
∵△OAB是等边三角形，
∴OE=2，BE=2

3

，
∴点B的坐标为（2，2

3

）；

（2）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2

3

）是抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+2

3

，
当x=0时，y=0，
∴0=a（0-2）²+2

3

，
∴a=-

3

2

，
∴抛物线的解析式为y=-

3

2

（x-2）²+2

3

，
即：y=-

3

2

x²+2

3

x；

（3）设点C的横坐标为x，则纵坐标为

3

2

x，
即点C的坐标为（x，

3

2

x）代入抛物线的解析式得：

3

2

x=-

3

2

x²+2

3

x，
解得：x=0或x=3，
∵点C在第一象限，
∴x=3，
∴点C的坐标为（3，

3 3

2

）；

（4）存在．
设点D的坐标为（x，-

3

2

x²+2

3

x），△OCD的面积为S，
过点D作DF⊥x轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（x，

3

2

x），
作CM⊥DF于点M，
则OF+CM=3，DG=-

3

2

x²+2

3

x-

3

2

x=-

3

2

x²+

3 3

2

x，
∴S=S_△OCD=S_△DGO+S_△DGC=

1

2

DG·OF+

1

2

DG·CM=

1

2

DG·（OF+CM）=

1

2

DG×3
=

1

2

（-

3

2

x²+

3 3

2

x）×3，
∴S=-

3 3

4

x²+

9 3

4

x=-

3 3

4

（x-

3

2

）²+

27 3

16

，
∴△OCD的最大面积为

27 3

16

，此时点D的坐标为（

3

2

，

15 3

8

）．
解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，
∵△OAB是等边三角形，
∴OE=2，BE=2

3

，
∴点B的坐标为（2，2

3

）；

（2）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2

3

）是抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+2

3

，
当x=0时，y=0，
∴0=a（0-2）²+2

3

，
∴a=-

3

2

，
∴抛物线的解析式为y=-

3

2

（x-2）²+2

3

，
即：y=-

3

2

x²+2

3

x；

（3）设点C的横坐标为x，则纵坐标为

3

2

x，
即点C的坐标为（x，

3

2

x）代入抛物线的解析式得：

3

2

x=-

3

2

x²+2

3

x，
解得：x=0或x=3，
∵点C在第一象限，
∴x=3，
∴点C的坐标为（3，

3 3

2

）；

（4）存在．
设点D的坐标为（x，-

3

2

x²+2

3

x），△OCD的面积为S，
过点D作DF⊥x轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（x，

3

2

x），
作CM⊥DF于点M，
则OF+CM=3，DG=-

3

2

x²+2

3

x-

3

2

x=-

3

2

x²+

3 3

2

x，
∴S=S_△OCD=S_△DGO+S_△DGC=

1

2

DG·OF+

1

2

DG·CM=

1

2

DG·（OF+CM）=

1

2

DG×3
=

1

2

（-

3

2

x²+

3 3

2

x）×3，
∴S=-

3 3

4

x²+

9 3

4

x=-

3 3

4

（x-

3

2

）²+

27 3

16

，
∴△OCD的最大面积为

27 3

16

，此时点D的坐标为（

3

2

，

15 3

8

）．