试题

已知经过原点的抛物线y=-2x²+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m＞0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P
（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）；
（2）设△PCD的面积为s，求s关于m关系式；
（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F．请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）原抛物线：y=-2x²+4x=-2（x-1）²+2，
则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）²+2，
由题得

y=-2(x-1)2+2 y=-2(x-1-m)2+2

，
解得

x= m+2 2 y= -m2+4 2

，
∴点P的坐标为（

m+2

2

，

-m2+4

2

）；

（2）抛物线：y=-2x²+4x=-2x（x-2）
∴抛物线与x轴的交点为O（0，0）A（2，0），
∴AO=2，
∵C、D两点是抛物线y=-2x²+4x向右平移m（m＞0）个，
单位所得抛物线与x轴的交点∴CD=OA=2，
①当0＜m＜2，即点P在第一象限时，如图1，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴PH=

-m2+4

2

，
∴S=

1

2

CD·2·（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2，
②当m=2，即点P在x轴时，△PCD不存在，
③当m＞2即点P在第四象限时，如图2，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴PH=|

-m2+4

2

|=

m2-4

2

，
∴S=

1

2

CD·HP=

1

2

×2×

m2-4

2

=

1

2

m²-2；

（3）如图3，若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2
由轴对称可知PE=PF，
∴PE=

1

2

OA=1，
∵P（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴点E的坐标为（

m

2

，

-m2+4

2

），
把点E代入抛物线解析式得：-2×(

m

2

)2+4×

m

2

=

-m2+4

2

，
解得：m=1．
解：（1）原抛物线：y=-2x²+4x=-2（x-1）²+2，
则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）²+2，
由题得

y=-2(x-1)2+2 y=-2(x-1-m)2+2

，
解得

x= m+2 2 y= -m2+4 2

，
∴点P的坐标为（

m+2

2

，

-m2+4

2

）；

（2）抛物线：y=-2x²+4x=-2x（x-2）
∴抛物线与x轴的交点为O（0，0）A（2，0），
∴AO=2，
∵C、D两点是抛物线y=-2x²+4x向右平移m（m＞0）个，
单位所得抛物线与x轴的交点∴CD=OA=2，
①当0＜m＜2，即点P在第一象限时，如图1，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴PH=

-m2+4

2

，
∴S=

1

2

CD·2·（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2，
②当m=2，即点P在x轴时，△PCD不存在，
③当m＞2即点P在第四象限时，如图2，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴PH=|

-m2+4

2

|=

m2-4

2

，
∴S=

1

2

CD·HP=

1

2

×2×

m2-4

2

=

1

2

m²-2；

（3）如图3，若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2
由轴对称可知PE=PF，
∴PE=

1

2

OA=1，
∵P（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴点E的坐标为（

m

2

，

-m2+4

2

），
把点E代入抛物线解析式得：-2×(

m

2

)2+4×

m

2

=

-m2+4

2

，
解得：m=1．