如图，点E（-4，0），以点E为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，抛物线y=frac{1}{6}x2+bx+c过点A和点B，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）求出...-青果题库-青果学院

题目：

（2008·岳阳）如图，点E（-4，0），以点E为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，抛物线y=

1

6

x²+bx+c过点A和点B，与y轴交于C点．
青果学院

（1）求抛物线的解析式；
（2）求出点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（3）点Q（m，

16

3

）（m＜0）在抛物线y=

1

6

x²+bx+c的图象上，点P为此抛物线对称轴上的一个动点，求PQ+PB的最小值；
（4）CF是圆E的切线，点F是切点，在抛物线上是否存在一点M，使△COM的面积等于△COF的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵⊙E的半径为2，
∴点E的坐标为（-4，0）易知A（-2，0），B（-6，0）
∵抛物线过点A和B，
∴

1

6

×(-2)2-2b+c=0

1

6

×(-4)2-4b+c=0

解得

b=

4

3

c=2

∴抛物线的解析式为y=

1

6

x²+

4

3

x+2；（2分）

（2）∵抛物线y=

1

6

x²+

4

3

x+2与y轴交于点C，
令x=0，y=

1

6

×0²+

4

3

×0+2=2，
∴C（0，2）
作图象如右；（4分）（未作图的给3分）

（3）∵Q（m，

16

3

），
∴

16

3

=

1

6

m²+

4

3

m+2
整理为m²+8m-20=0，
即m₁=2，m₂=-10
∵m＜0，则m=-10
∴Q（-10，

16

3

）（5分）
∵y=

1

6

（x+4）²-

2

3

，
又∵A（-2，0）与B（-6，0）
关于x=-4对称，则PQ+PB的最小值就是QA的长度
∴PQ+PB=PA+PQ=QA=

(10-2)2+(

16

3

)2

=

8

3

13

；（6分）

（4）解法一：连接EF，
∵EF=2，在Rt△COD与Rt△EFD中，EF=CO=2
又∵∠CDO=∠EDF，
∴Rt△COD≌Rt△EFD
设OD=-x，则ED=CD=4+x，在Rt△COD中2²+（-x）²=（4+x）²，则X_F=-1.5
∴CD=4-1.5=2.5，设∠OCD=∠1，则sin∠1=

1.5

2.5

=

3

5

．
设X₁=α
又∵CF=

CE2-EF2

=

20-4

=4，
∴

XF

CF

=

-a

4

=sin∠1，
∴

-a

4

=

3

5

∴a=-

12

5

=-2.4（8分）
又S_△COF=S_△COM，
∵CO=CO，三角形同底则只要高相等，则S_△COF=S_△COM∴x_M=X_F或X_M=-X_F，
故存在x_M1=2.4或x_M2=-2.4
y_M1=

1

6

×-2.4²+

4

3

x-2.4+2=-0.24，
y_M2=

1

6

×2.4²+

4

3

×2.4+2=6.16
∴M的坐标为M₁（-2.4，-0.24），M₂（2.4，6.16）（10分）
解法二：如图过F点作y轴的垂线交y轴于G点，由△COD≌△EFD·CD=ED
设OD=xED=CD=4-x，
则有（4-x）²-x²=2²·x=1.5又CF=

CE2-EF2

=4（7分）
又∵Rt△COD≌Rt△EFD，CD=DE，OD=DF
∴

CD

DF

=

OD

GF

·GF=

4×1.5

2.5

=2.4（8分）
若S_△COF=S_△COM，故M点到底边CO的高为2.4，则存在x_M1=2.4或x_M2=-2.4
当x_M1=-2.4时，y_M1=

1

6

×（-2.4）²+

4

3

×（-2.4）+2=-0.24，
∴M₁（-2.4，-0.24）x_M2=2.4时，yM2=

1

6

×2.42+

4

3

×2.4+2=6.16，
∴M₂（2.4，6.16）（10分）
如果有其它不同解法，可依据解法一或解法二的得分标准给分．
青果学院

解：（1）∵⊙E的半径为2，
∴点E的坐标为（-4，0）易知A（-2，0），B（-6，0）
∵抛物线过点A和B，
∴

1

6

×(-2)2-2b+c=0

1

6

×(-4)2-4b+c=0

解得

b=

4

3

c=2

∴抛物线的解析式为y=

1

6

x²+

4

3

x+2；（2分）

（2）∵抛物线y=

1

6

x²+

4

3

x+2与y轴交于点C，
令x=0，y=

1

6

×0²+

4

3

×0+2=2，
∴C（0，2）
作图象如右；（4分）（未作图的给3分）

（3）∵Q（m，

16

3

），
∴

16

3

=

1

6

m²+

4

3

m+2
整理为m²+8m-20=0，
即m₁=2，m₂=-10
∵m＜0，则m=-10
∴Q（-10，

16

3

）（5分）
∵y=

1

6

（x+4）²-

2

3

，
又∵A（-2，0）与B（-6，0）
关于x=-4对称，则PQ+PB的最小值就是QA的长度
∴PQ+PB=PA+PQ=QA=

(10-2)2+(

16

3

)2

=

8

3

13

；（6分）

（4）解法一：连接EF，
∵EF=2，在Rt△COD与Rt△EFD中，EF=CO=2
又∵∠CDO=∠EDF，
∴Rt△COD≌Rt△EFD
设OD=-x，则ED=CD=4+x，在Rt△COD中2²+（-x）²=（4+x）²，则X_F=-1.5
∴CD=4-1.5=2.5，设∠OCD=∠1，则sin∠1=

1.5

2.5

=

3

5

．
设X₁=α
又∵CF=

CE2-EF2

=

20-4

=4，
∴

XF

CF

=

-a

4

=sin∠1，
∴

-a

4

=

3

5

∴a=-

12

5

=-2.4（8分）
又S_△COF=S_△COM，
∵CO=CO，三角形同底则只要高相等，则S_△COF=S_△COM∴x_M=X_F或X_M=-X_F，
故存在x_M1=2.4或x_M2=-2.4
y_M1=

1

6

×-2.4²+

4

3

x-2.4+2=-0.24，
y_M2=

1

6

×2.4²+

4

3

×2.4+2=6.16
∴M的坐标为M₁（-2.4，-0.24），M₂（2.4，6.16）（10分）
解法二：如图过F点作y轴的垂线交y轴于G点，由△COD≌△EFD·CD=ED
设OD=xED=CD=4-x，
则有（4-x）²-x²=2²·x=1.5又CF=

CE2-EF2

=4（7分）
又∵Rt△COD≌Rt△EFD，CD=DE，OD=DF
∴

CD

DF

=

OD

GF

·GF=

4×1.5

2.5

=2.4（8分）
若S_△COF=S_△COM，故M点到底边CO的高为2.4，则存在x_M1=2.4或x_M2=-2.4
当x_M1=-2.4时，y_M1=

1

6

×（-2.4）²+

4

3

×（-2.4）+2=-0.24，
∴M₁（-2.4，-0.24）x_M2=2.4时，yM2=

1

6

×2.42+

4

3

×2.4+2=6.16，
∴M₂（2.4，6.16）（10分）
如果有其它不同解法，可依据解法一或解法二的得分标准给分．

考点梳理

二次函数综合题．

试题