试题

（2008·肇庆）已知点A（a，y₁）、B（2a，y₂）、C（3a，y₃）都在抛物线y=5x²+12x上．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有y₁，y₂，y₃，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

解：（1）由5x²+12x=0，
得x₁=0，x2=-

12

5

．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（-

12

5

，0）．

（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则有S_△ABC=S_梯形ADFC-S_梯形ADEB-S_梯形BEFC
=

(17+81)×2

2

-

(17+44)×1

2

-

(44+81)×1

2

=5（个单位面积）

（3）如：y₃=3（y₂-y₁）．
事实上，y₃=5×（3a）²+12×（3a）=45a²+36a．
3（y₂-y₁）=3[5×（2a）²+12×2a-（5a²+12a）]=45a²+36a．
∴y₃=3（y₂-y₁）．
解：（1）由5x²+12x=0，
得x₁=0，x2=-

12

5

．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（-

12

5

，0）．

（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则有S_△ABC=S_梯形ADFC-S_梯形ADEB-S_梯形BEFC
=

(17+81)×2

2

-

(17+44)×1

2

-

(44+81)×1

2

=5（个单位面积）

（3）如：y₃=3（y₂-y₁）．
事实上，y₃=5×（3a）²+12×（3a）=45a²+36a．
3（y₂-y₁）=3[5×（2a）²+12×2a-（5a²+12a）]=45a²+36a．
∴y₃=3（y₂-y₁）．