试题

（2009·巴中）如图所示，已知抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A，B两点，C为抛物线的顶点，过点A作AP∥BC交抛物线于点P．
（1）求A，B，C三点坐标；
（2）求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，过点M作ME⊥x轴于点E，使A，M，E三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）①y=x²-4x+3令y=0，则x²-4x+3=0，
即x₁=1，x₂=3，
故点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点C的坐标为（2，-l）；

（2）∵过B，C两点的直线为y=x-3，AP∥BC，
∴设直线AP为y=x+b，
又∵点A的坐标为（1，0），
∴直线AP为y=x-1，②
由①②可知点P的坐标为（4，3），
所以，S_{四边形ACBP}=S_△ABP+S_△ACB=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；

（3）存在，点M的坐标为M₁（0，3），M₂（

10

3

，

7

9

），M₃（6，15）．
由（1）（2）易知AP=3

2

，AC=

2

，PC=2

5

，
∴AP²+AC²=PC²，
∴△PAC为Rt△，且∠PAC=90°，
∵ME⊥x 轴，
∴以A，M，E三点为顶点的三角形也是Rt△，且∠MEA=90°，
假设点M是在x轴上方的抛物线上，设M为（a，a²-4a+3 ）且（a＜1或a＞3），
要使Rt△PAC和Rt△MEA相似，则有
①Rt△PAC∽Rt△AEM，得

PA

AE

=

AC

EM

，
②Rt△PAC∽Rt△MEA，得

PA

EM

=

AC

AE

，
而AE=|1-a|，ME=a²-4a+3，由①得|1-a|=3（a²-4a+3），
解之a1=

8

3

（舍去），a₂=1 （舍去），a3=

10

3

，a₄=1（舍去），
再由②得3|1-a|=3（a²-4a+3），
解之，a₅=0，a₆=1 （舍去），a₇=6，a₈=1（舍去），
综上所述：存在点M的坐标，即为M₁（0，3），M₂（

10

3

，

7

9

），M₃（6，15）．
解：（1）①y=x²-4x+3令y=0，则x²-4x+3=0，
即x₁=1，x₂=3，
故点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点C的坐标为（2，-l）；

（2）∵过B，C两点的直线为y=x-3，AP∥BC，
∴设直线AP为y=x+b，
又∵点A的坐标为（1，0），
∴直线AP为y=x-1，②
由①②可知点P的坐标为（4，3），
所以，S_{四边形ACBP}=S_△ABP+S_△ACB=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；

（3）存在，点M的坐标为M₁（0，3），M₂（

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，

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），M₃（6，15）．
由（1）（2）易知AP=3

2

，AC=

2

，PC=2

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，
∴AP²+AC²=PC²，
∴△PAC为Rt△，且∠PAC=90°，
∵ME⊥x 轴，
∴以A，M，E三点为顶点的三角形也是Rt△，且∠MEA=90°，
假设点M是在x轴上方的抛物线上，设M为（a，a²-4a+3 ）且（a＜1或a＞3），
要使Rt△PAC和Rt△MEA相似，则有
①Rt△PAC∽Rt△AEM，得

PA

AE

=

AC

EM

，
②Rt△PAC∽Rt△MEA，得

PA

EM

=

AC

AE

，
而AE=|1-a|，ME=a²-4a+3，由①得|1-a|=3（a²-4a+3），
解之a1=

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3

（舍去），a₂=1 （舍去），a3=

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，a₄=1（舍去），
再由②得3|1-a|=3（a²-4a+3），
解之，a₅=0，a₆=1 （舍去），a₇=6，a₈=1（舍去），
综上所述：存在点M的坐标，即为M₁（0，3），M₂（

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3

，

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），M₃（6，15）．