试题

（2009·鄂州）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令m=

S四边形CFGH

S四边形CMNO

，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=

1

3

，Q为AE上一点且QF=

2

3

，抛物线y=mx²+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx²+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．

（2）m为定值，理由如下：
∵S_{四边形CFGH}=CF²=EF²-EC²=EO²-EC²=（EO+EC）（EO-EC）=CO·（EO-EC），
S_{四边形CMNO}=CM·CO=|CE-EO|·CO=（EO-EC）·CO，
∴m=

S四边形CFGH

S四边形CMNO

=1．

（3）∵CO=1，CE=

1

3

，QF=

2

3

，
∴EF=EO=1-

1

3

=

2

3

=QF，
∴cos∠FEC=

1

2

，
∴∠FEC=60°，
∴∠FEA=

180°-60°

2

=60°=∠OEA，∠EAO=30°，
∴△EFQ为等边三角形，EQ=

2

3

．
作QI⊥EO于I，EI=

1

2

EQ=

1

3

，IQ=

3

2

EQ=

3

3

，
∴IO=

2

3

-

1

3

=

1

3

，
∴Q点坐标为(

3

3

，

1

3

)．
∵抛物线y=mx²+bx+c过点C（0，1），Q(

3

3

，

1

3

)，m=1，
∴可求得b=-

3

，c=1，
∴抛物线解析式为y=x2-

3

x+1．

（4）由（3），AO=

3

EO=

2

3

3

，
当x=

2

3

3

时，y=(

2

3

3

)2-

3

×

2

3

3

+1=

1

3

＜AB，
∴P点坐标为(

2 3

3

，

1

3

)，
∴BP=1-

1

3

=

2

3

AO．
方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①

BK

2 3

=

2 3

2 3 3

时，BK=

2 3

9

，
∴K点坐标为(

4 3

9

，1)或(

8 3

9

，1)；
②

BK

2 3 3

=

2 3

2 3

时，BK=

2 3

3

，
∴K点坐标为(

4 3

3

，1)或（0，1）．
故直线KP与y轴交点T的坐标为(0，-

5

3

)或(0，

7

3

)或(0，-

1

3

)或(0，1)．
方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°．
①当∠RTP=30°时，RT=

2 3

3

×

3

=2，
②当∠RTP=60°时，RT=

2 3

3

÷

3

=

2

3

，
∴T1(0，

7

3

)，T2(0，-

5

3

)，T3(0，-

1

3

)，T4(0，1)．
解：（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．

（2）m为定值，理由如下：
∵S_{四边形CFGH}=CF²=EF²-EC²=EO²-EC²=（EO+EC）（EO-EC）=CO·（EO-EC），
S_{四边形CMNO}=CM·CO=|CE-EO|·CO=（EO-EC）·CO，
∴m=

S四边形CFGH

S四边形CMNO

=1．

（3）∵CO=1，CE=

1

3

，QF=

2

3

，
∴EF=EO=1-

1

3

=

2

3

=QF，
∴cos∠FEC=

1

2

，
∴∠FEC=60°，
∴∠FEA=

180°-60°

2

=60°=∠OEA，∠EAO=30°，
∴△EFQ为等边三角形，EQ=

2

3

．
作QI⊥EO于I，EI=

1

2

EQ=

1

3

，IQ=

3

2

EQ=

3

3

，
∴IO=

2

3

-

1

3

=

1

3

，
∴Q点坐标为(

3

3

，

1

3

)．
∵抛物线y=mx²+bx+c过点C（0，1），Q(

3

3

，

1

3

)，m=1，
∴可求得b=-

3

，c=1，
∴抛物线解析式为y=x2-

3

x+1．

（4）由（3），AO=

3

EO=

2

3

3

，
当x=

2

3

3

时，y=(

2

3

3

)2-

3

×

2

3

3

+1=

1

3

＜AB，
∴P点坐标为(

2 3

3

，

1

3

)，
∴BP=1-

1

3

=

2

3

AO．
方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①

BK

2 3

=

2 3

2 3 3

时，BK=

2 3

9

，
∴K点坐标为(

4 3

9

，1)或(

8 3

9

，1)；
②

BK

2 3 3

=

2 3

2 3

时，BK=

2 3

3

，
∴K点坐标为(

4 3

3

，1)或（0，1）．
故直线KP与y轴交点T的坐标为(0，-

5

3

)或(0，

7

3

)或(0，-

1

3

)或(0，1)．
方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°．
①当∠RTP=30°时，RT=

2 3

3

×

3

=2，
②当∠RTP=60°时，RT=

2 3

3

÷

3

=

2

3

，
∴T1(0，

7

3

)，T2(0，-

5

3

)，T3(0，-

1

3

)，T4(0，1)．