题目:
(2009·衡阳)如图,直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.

(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由;
(2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?
(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a(0<a<4),正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象.
答案
解:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4(0<x<4,-x+4>0),
则:MC=|-x+4|=-x+4,MD=|x|=x,
∴C
四边形OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8,
∴当点M在AB上运动时,四边形OCMD的周长不发生变化,总是等于8.
(2)根据题意得:S
四边形OCMD=MC·MD=(-x+4)·x=-x
2+4x=-(x-2)
2+4,
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0<x<4)的二次函数,并且当x=2,
即当点M运动到线段AB的中点时,四边形OCMD的面积最大且最大面积为4.

(3)如图( 2 ),当0<a≤2时,S=S
四边形O′CMD-S
△MEF=4-
a
2=-
a
2+4,
如图(3),当2≤a<4时,S=S
△O′AF=
(4-a)
2=
(a-4)
2,
∴S与a的函数的图象如下图所示.

解:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4(0<x<4,-x+4>0),
则:MC=|-x+4|=-x+4,MD=|x|=x,
∴C
四边形OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8,
∴当点M在AB上运动时,四边形OCMD的周长不发生变化,总是等于8.
(2)根据题意得:S
四边形OCMD=MC·MD=(-x+4)·x=-x
2+4x=-(x-2)
2+4,
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0<x<4)的二次函数,并且当x=2,
即当点M运动到线段AB的中点时,四边形OCMD的面积最大且最大面积为4.

(3)如图( 2 ),当0<a≤2时,S=S
四边形O′CMD-S
△MEF=4-
a
2=-
a
2+4,
如图(3),当2≤a<4时,S=S
△O′AF=
(4-a)
2=
(a-4)
2,
∴S与a的函数的图象如下图所示.