试题

（2009·黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

1

18

x²-

4

9

x-10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当0＜t＜

9

2

时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

解：（1）y=

1

18

（x²-8x-180），
令y=0，得x²-8x-180=0，
即（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10．
∴A（18，0）
在y=

1

18

x²-

4

9

x-10中，令x=0得y=-10，
即B（0，-10）．
由于BC∥OA，
故点C的纵坐标为-10，
由-10=

1

18

x²-

4

9

x-10得，
x=8或x=0，
即C（8，-10）且易求出顶点坐标为（4，-

98

9

），
于是，A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），顶点坐标为（4，-

98

9

）；

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA．
故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t得t=

18

5

；

（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5，
说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故

QD

DP

=

QC

OP

=

t

4t

=

1

4

∵AF=4t=OP
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵点Q到直线PF的距离d=10，
∴S_△PQF=

1

2

PF·d=

1

2

×18×10=90，
于是△PQF的面积总为90；

（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100
FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．
①若FP=FQ，则18²=（5t+10）²+100．
即25（t+2）²=224，（t+2）²=

224

25

．
∵0≤t≤4.5，
∴2≤t+2≤6.5，
∴t+2=

224 25

=

4 14

5

．
∴t=

4 14

5

-2，
②若QP=QF，则（5t-8）²+100=（5t+10）²+100．
即（5t-8）²=（5t+10）²，无0≤t≤4.5的t满足．
③若PQ=PF，则（5t-8）²+100=18²．
即（5t-8）²=224，由于

224

≈15，又0≤5t≤22.5，
∴-8≤5t-8≤14.5，而14.5²=（

29

2

）²=

841

4

＜224．
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
注：也可解出t=

8-4 14

5

＜0或t=

8+4 14

5

＞4.5均不合题意，
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
综上所述，当t=

4 14

5

-2时，△PQF为等腰三角形．
解：（1）y=

1

18

（x²-8x-180），
令y=0，得x²-8x-180=0，
即（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10．
∴A（18，0）
在y=

1

18

x²-

4

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x-10中，令x=0得y=-10，
即B（0，-10）．
由于BC∥OA，
故点C的纵坐标为-10，
由-10=

1

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x²-

4

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x-10得，
x=8或x=0，
即C（8，-10）且易求出顶点坐标为（4，-

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9

），
于是，A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），顶点坐标为（4，-

98

9

）；

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA．
故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t得t=

18

5

；

（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5，
说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故

QD

DP

=

QC

OP

=

t

4t

=

1

4

∵AF=4t=OP
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵点Q到直线PF的距离d=10，
∴S_△PQF=

1

2

PF·d=

1

2

×18×10=90，
于是△PQF的面积总为90；

（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100
FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．
①若FP=FQ，则18²=（5t+10）²+100．
即25（t+2）²=224，（t+2）²=

224

25

．
∵0≤t≤4.5，
∴2≤t+2≤6.5，
∴t+2=

224 25

=

4 14

5

．
∴t=

4 14

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-2，
②若QP=QF，则（5t-8）²+100=（5t+10）²+100．
即（5t-8）²=（5t+10）²，无0≤t≤4.5的t满足．
③若PQ=PF，则（5t-8）²+100=18²．
即（5t-8）²=224，由于

224

≈15，又0≤5t≤22.5，
∴-8≤5t-8≤14.5，而14.5²=（

29

2

）²=

841

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＜224．
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
注：也可解出t=

8-4 14

5

＜0或t=

8+4 14

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＞4.5均不合题意，
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
综上所述，当t=

4 14

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-2时，△PQF为等腰三角形．