试题

（2009·江津区）如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

（2分）
∴

b=-2 c=3

（3分）
∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；（4分）

（2）存在（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
∵y=-x²-2x+3
∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：y=x+3（6分）
Q点坐标即为

x=-1 y=x+3

解得

x=-1 y=2

∴Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四边形BPCO}-S_△BOC=S_{四边形BPCO}-

9

2

若S_{四边形BPCO}有最大值，则S_△BPC就最大，
∴S_{四边形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}（9分）
=

1

2

BE·PE+

1

2

OE（PE+OC）
=

1

2

（x+3）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x）（-x²-2x+3+3）
=-

3

2

(x+

3

2

)2+

9

2

+

27

8

当x=-

3

2

时，S_{四边形BPCO}最大值=

9

2

+

27

8

∴S_△BPC最大=

9

2

+

27

8

-

9

2

=

27

8

（10分）
当x=-

3

2

时，-x²-2x+3=

15

4

∴点P坐标为（-

3

2

，

15

4

）．（11分）
解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

（2分）
∴

b=-2 c=3

（3分）
∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；（4分）

（2）存在（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
∵y=-x²-2x+3
∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：y=x+3（6分）
Q点坐标即为

x=-1 y=x+3

解得

x=-1 y=2

∴Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四边形BPCO}-S_△BOC=S_{四边形BPCO}-

9

2

若S_{四边形BPCO}有最大值，则S_△BPC就最大，
∴S_{四边形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}（9分）
=

1

2

BE·PE+

1

2

OE（PE+OC）
=

1

2

（x+3）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x）（-x²-2x+3+3）
=-

3

2

(x+

3

2

)2+

9

2

+

27

8

当x=-

3

2

时，S_{四边形BPCO}最大值=

9

2

+

27

8

∴S_△BPC最大=

9

2

+

27

8

-

9

2

=

27

8

（10分）
当x=-

3

2

时，-x²-2x+3=

15

4

∴点P坐标为（-

3

2

，

15

4

）．（11分）