试题

（2009·来宾）在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将△ABC的周长分成相等的两部分．设AE=x，AD=y，△ADE的面积为S．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出S关于x的函数关系式；试判断S是否有最大值，若有，则求出其最大值，并指出此时△ADE的形状；若没有，请说明理由．

解：（1）∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE=

6+8+10

2

=12，即y+x=12，
∴y关于x的函数关系式为：y=12-x（2≤x≤6）．

（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵6²+8²=10²，即AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴sin∠A=

BC

AB

=

DF

AD

，即

8

10

=

DF

12-x

∴DF=

48-4x

5

∴S=

1

2

·AE·DF=

1

2

·x·

48-4x

5

=-

2

5

x²+

24

5

x
=-

2

5

（x-6）²+

72

5

，
故当x=6时，S取得最大值

72

5

，
此时，y=12-6=6，即AE=AD．
因此，△ADE是等腰三角形．
解：（1）∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE=

6+8+10

2

=12，即y+x=12，
∴y关于x的函数关系式为：y=12-x（2≤x≤6）．

（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵6²+8²=10²，即AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴sin∠A=

BC

AB

=

DF

AD

，即

8

10

=

DF

12-x

∴DF=

48-4x

5

∴S=

1

2

·AE·DF=

1

2

·x·

48-4x

5

=-

2

5

x²+

24

5

x
=-

2

5

（x-6）²+

72

5

，
故当x=6时，S取得最大值

72

5

，
此时，y=12-6=6，即AE=AD．
因此，△ADE是等腰三角形．