试题

（2009·南充）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S₁与四边形OABD的面积S满足：S₁=

2

3

S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设正比例函数的解析式为y=k₁x（k₁≠0），
因为y=k₁x的图象过点A（3，3），
所以3=3k₁，解得k₁=1．
这个正比例函数的解析式为y=x．
设反比例函数的解析式为y=

k2

x

（k₂≠0），
因为y=

k2

x

的图象过点A（3，3），
所以3=

k2

3

，
解得k₂=9．
这个反比例函数的解析式为y=

9

x

．（2分）

（2）因为点B（6，m）在y=

9

x

的图象上，
所以m=

9

6

=

3

2

，
则点B（6，

3

2

）．（3分）
设一次函数解析式为y=k₃x+b（k₃≠0），
因为y=k₃x+b的图象是由y=x平移得到的，
所以k₃=1，即y=x+b．
又因为y=x+b的图象过点B（6，

3

2

），
所以

3

2

=6+b，
解得b=-

9

2

，
∴一次函数的解析式为y=x-

9

2

．

（3）因为y=x-

9

2

的图象交y轴于点D，
所以D的坐标为（0，-

9

2

）．
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
因为y=ax²+bx+c的图象过点A（3，3）、B（6，

3

2

）、和D（0，-

9

2

），
所以

9a+3b+c=3 36a+6b+c= 3 2 c=- 9 2

，
解得

a=- 1 2 b=4 c=- 9 2

，
这个二次函数的解析式为y=-

1

2

x²+4x-

9

2

．（6分）

（4）∵y=x-

9

2

交x轴于点C，
∴点C的坐标是（

9

2

，0），
如图所示，连接OE，CE，过点A作AF∥x轴，交y轴于点F，过点B作BH∥y轴，交AF于点H，过点D作DG∥x轴，交直线BH于点G，则S=

15

2

×6-

1

2

×6×6-

1

2

×

3

2

×3-

1

2

×3×3=45-18-

9

4

-

9

2

=

81

4

．
假设存在点E（x₀，y₀），使S₁=

2

3

S=

81

4

×

2

3

=

27

2

．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，
∴y₀＞0，
∴S₁=S_△OCD+S_△OCE=

1

2

×

9

2

×

9

2

+

1

2

×

9

2

·y0=

81

8

+

9

4

y0．
∴

81

8

+

9

4

y0=

27

2

，
∴y0=

3

2

．（7分）
∵E（x₀，y₀）在二次函数的图象上，
∴-

1

2

x

2 0

+4x0-

9

2

=

3

2

．
解得x₀=2或x₀=6．
当x₀=6时，点E（6，

3

2

）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x₀=6舍去，
∴点E的坐标为（2，

3

2

）．（8分）
解：（1）设正比例函数的解析式为y=k₁x（k₁≠0），
因为y=k₁x的图象过点A（3，3），
所以3=3k₁，解得k₁=1．
这个正比例函数的解析式为y=x．
设反比例函数的解析式为y=

k2

x

（k₂≠0），
因为y=

k2

x

的图象过点A（3，3），
所以3=

k2

3

，
解得k₂=9．
这个反比例函数的解析式为y=

9

x

．（2分）

（2）因为点B（6，m）在y=

9

x

的图象上，
所以m=

9

6

=

3

2

，
则点B（6，

3

2

）．（3分）
设一次函数解析式为y=k₃x+b（k₃≠0），
因为y=k₃x+b的图象是由y=x平移得到的，
所以k₃=1，即y=x+b．
又因为y=x+b的图象过点B（6，

3

2

），
所以

3

2

=6+b，
解得b=-

9

2

，
∴一次函数的解析式为y=x-

9

2

．

（3）因为y=x-

9

2

的图象交y轴于点D，
所以D的坐标为（0，-

9

2

）．
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
因为y=ax²+bx+c的图象过点A（3，3）、B（6，

3

2

）、和D（0，-

9

2

），
所以

9a+3b+c=3 36a+6b+c= 3 2 c=- 9 2

，
解得

a=- 1 2 b=4 c=- 9 2

，
这个二次函数的解析式为y=-

1

2

x²+4x-

9

2

．（6分）

（4）∵y=x-

9

2

交x轴于点C，
∴点C的坐标是（

9

2

，0），
如图所示，连接OE，CE，过点A作AF∥x轴，交y轴于点F，过点B作BH∥y轴，交AF于点H，过点D作DG∥x轴，交直线BH于点G，则S=

15

2

×6-

1

2

×6×6-

1

2

×

3

2

×3-

1

2

×3×3=45-18-

9

4

-

9

2

=

81

4

．
假设存在点E（x₀，y₀），使S₁=

2

3

S=

81

4

×

2

3

=

27

2

．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，
∴y₀＞0，
∴S₁=S_△OCD+S_△OCE=

1

2

×

9

2

×

9

2

+

1

2

×

9

2

·y0=

81

8

+

9

4

y0．
∴

81

8

+

9

4

y0=

27

2

，
∴y0=

3

2

．（7分）
∵E（x₀，y₀）在二次函数的图象上，
∴-

1

2

x

2 0

+4x0-

9

2

=

3

2

．
解得x₀=2或x₀=6．
当x₀=6时，点E（6，

3

2

）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x₀=6舍去，
∴点E的坐标为（2，

3

2

）．（8分）