如图所示，已知实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根，抛物线y=-frac{1}{2}x2+bx+c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）．（1）求这个抛物线的...-青果题库-青果学院

题目：

（2009·攀枝花）如图所示，已知实数m是方程x²-8x+16=0的一个实数根，抛物线y=-

1

2

x²+bx+c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DE∥BC交AC于点E，又过D作DF∥AC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；
（3）设△AOC的外接圆为⊙G，若M是⊙G的优弧ACO上的一个动点，连接AM、OM，问在这个抛物线位于y轴左侧的图象上是否存在点N，使得∠NOB=∠AMO？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵实数m是方程x²-8x+16=0的一个实数根，
∴m=4；
即A（4，0）、C（0，4），代入抛物线的解析式中，可得：

-

1

2

×16+4b+c=0

c=4

，
解得

b=1

c=4

；
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）易知：B（-2，0），则AB=6，S_△ABC=

1

2

AB·OC=12；
设点D的坐标为：（d，0），则BD=d+2，AD=4-d；
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴

S△BDF

S△BAC

=(

BD

AB

)2=(

d+2

6

)2；
∵S_△ABC=12，
∴S_△BDF=

1

3

（d+2）²；
同理可求得：S_△ADE=

1

3

（4-d）²；
∴S_·CEDF=S_△ABC-S_△BDF-S_△ADE
=12-

1

3

（d+2）²-

1

3

（4-d）²
=-

2

3

d²+

4

3

d+

16

3

=-

2

3

（d-1）²+6；
故当d=1，即D（1，0）时，四边形CEDF的面积最大，且最大值为6．

（3）如图：
青果学院

由于A（4，0）、C（0，4），那么OA=OC=4，即△OAC是等腰直角三角形；
点N在y轴左侧，那么∠NOB＜90°，
因此∠AMO也是锐角，即M在弧ACO上，由圆周角定理知：∠ACO=∠AMO=45°，
故∠NOB=∠AMO=45°；
设N点坐标为（m，n），则|m|=|n|；
当m=n时，N（m，m），代入抛物线的解析式中，得：
m=-

1

2

m²+m+4，解得：m=-2

2

（正值舍去）；
∴N（-2

2

，-2

2

）；
当m=-n时，N（m，-m），代入抛物线的解析式中，
得：-m=-

1

2

m²+m+4，
解得：m=2-2

3

（正值舍去）；
∴N（2-2

3

，2

3

-2）；
综上所述，存在符合条件的N点，且N点坐标为：N（-2

2

，-2

2

）或（2-2

3

，2

3

-2）．
解：（1）∵实数m是方程x²-8x+16=0的一个实数根，
∴m=4；
即A（4，0）、C（0，4），代入抛物线的解析式中，可得：

-

1

2